解：存在．

理由：如图③中，连接PA，作BM⊥PE交PE的延长线于M．

由题意：PF＝PG= $\frac{3}{2}$ ，

∵AG＝EF＝2，∠G＝∠F＝90°，∴PA＝PE＝ $\frac{5}{2}$ ，

∴S_△_PBE＝ $\frac{1}{2}$ •PE•BM＝ $\frac{5}{4}$ BM，

∴当BM的值最大时，△PBE的面积最大，

∵BM≤PB，PB≤AB+PA，

∴PB≤3+ $\frac{5}{2}$ = $\frac{11}{2}$ ，∴BM≤ $\frac{11}{2}$ ，∴BM的最大值为 $\frac{11}{2}$ ，此时点B、A、P三点共线，

∴△PBE的面积的最大值为 $\frac{55}{8}$

江苏省泰州市泰兴市实验初级中学教育集团(联盟)2020届九年级上学期数学期末考试试卷