解：如图2，作PC⊥l于点C.

①∵y= $\frac{1}{2}$ （x-1）²-2，

∴当m=5，即x=5时，y=6，

∴P（5，6），

∴此时L′的解析式为y= $\frac{1}{2}$ （x-5）²+6，点C的坐标是（1，6）.

∵当x=1时，y=14，

∴点N的坐标是（1，14）.

∵CM=6-（-2）=8，CN=14-6=8，

∴CM=CN.

∵PC垂直平分线段MN，

∴PM=PN；

②PM=PN仍然成立.

由题意有点P的坐标为（m， $\frac{1}{2}$ m²-m-1.5）.

∵L′的解析式为y= $\frac{1}{2}$ （x-m）²+ $\frac{1}{2}$ m²-m-1.5，

∴点C的坐标是（1， $\frac{1}{2}$ m²-m-1.5），

∴CM= $\frac{1}{2}$ m²-m-1.5+2= $\frac{1}{2}$ m²-m+ $\frac{1}{2}$ .

∵在L′的解析式y= $\frac{1}{2}$ （x-m）²+ $\frac{1}{2}$ m²-m-1.5中，

∴当x=1时，y=m²-2m-1，

∴点N的坐标是（1，m²-2m-1），

∴CN=（m²-2m-1）-（ $\frac{1}{2}$ m²-m-1.5）= $\frac{1}{2}$ m²-m+ $\frac{1}{2}$ ，

∴CM=CN.

∵PC垂直平分线段MN，

∴PM=PN；

③存在这样的点P，使△PMN为等边三角形.

若 $\frac{C N}{P C}$ =tan30°，则 $\frac{1}{2}$ m²-m+ $\frac{1}{2}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ （m-1），

解得m= $\frac{2 \sqrt{3} + 3}{3}$ ，

所以点P的坐标为（ $\frac{2 \sqrt{3} + 3}{3}$ ，- $\frac{4}{3}$ ）.

广西柳州市鱼峰区十四中2019届数学中考模拟试卷