解：（解法一）：如图1，∵

P

为第一象限内抛物线上一动点，

设 $P (x ， y) ，$ 则 $x > 0 ， y > 0 ．$

$P$ 点坐标满足 $y = - x^{2} + (\sqrt{3} - 1) x + \sqrt{3} ．$

连接 $P B ， P O ， P B' ．$

$∴ S_{四边形 P B A B'} = S_{△ B A O} + S_{△ P B O} + S_{△ P O B'}$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} y = \frac{\sqrt{3}}{2} (x + y + 1)$

= $\frac{\sqrt{3}}{2} [x - x^{2} + (\sqrt{3} - 1) x + \sqrt{3} + 1] = \frac{\sqrt{3}}{2} [- {(x - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4}]$

当 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $S_{四边形 P B A B'}$ 最大.

此时， $y = \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{4}$ .即当动点 $P$ 的坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{4})$ 时，

$S_{四边形 P B A B'}$ 最大，最大面积为 $\frac{12 + 7 \sqrt{3}}{8}$

（解法二）：如图2，连接 $B B' ，$ $∵ P$ 为第一象限内抛物线上一动点，

$∴ S_{四边形 P B A B'} = S_{△ A B B'} + S_{△ P B B'} ，$ 且 $△ A B B'$ 的面积为定值，

$∴ S_{四边形 P B A B'}$ 最大时 $S_{△ P B B'}$ 必须最大.

∵ $B B'$ 长度为定值，∴ $S_{△ P B B'}$ 最大时点 $P$ 到 $B B'$ 的距离最大.

即将直线 $B B'$ 向上平移到与抛物线有唯一交点时，

$P$ 到 $B B'$ 的距离最大.

设与直线 $B B'$ 平行的直线 $l$ 的解析式为 $y = - x + m ，$

联立 ${\begin{matrix} y = - x + m \\ y = - x^{2} + (\sqrt{3} - 1) x + \sqrt{3} \end{matrix}$

得 $x^{2} - \sqrt{3} x + m - \sqrt{3} = 0 ．$

令 $Δ = {(\sqrt{3})}^{2} - 4 (m - \sqrt{3}) = 0 ．$

解得 $m = \frac{3}{4} + \sqrt{3} ．$ 此时直线 $l$ 的解析式为： $y = - x + \frac{3}{4} + \sqrt{3} ．$

${\begin{matrix} y = - x + \frac{3}{4} + \sqrt{3} \\ y = - x^{2} + (\sqrt{3} - 1) x + \sqrt{3} \end{matrix}$ 解得 ${\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ y = \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{4} \end{matrix}$

∴直线 $l$ 与抛物线唯一交点坐标为 $P (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{4})$

设 $l$ 与 $y$ 轴交于 $E ，$ 则 $B E = \frac{3}{4} + \sqrt{3} - \sqrt{3} = \frac{3}{4} ．$

过 $B$ 作 $B F ⊥ l$ 于 $F ，$ 在 $Rt △ B E F$ 中， $∠ F E B = 45 ° ． ∴ B F = \frac{3}{4} sin 45 ° = \frac{3 \sqrt{2}}{8} ．$

过 $P$ 作 $P G ⊥ B B'$ 于 $G ，$ 则 $P$ 到 $B B'$ 的距离 $d = B F = \frac{3 \sqrt{2}}{8} ．$

此时四边形 $P B A B'$ 的面积最大.

∴ $S_{四边形 P B A B'}$ 的最大值= $\frac{1}{2} A B' \cdot O B + \frac{1}{2} B B' \cdot d = \frac{1}{2} (\sqrt{3} + 1) \times \sqrt{3} + \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ $= \frac{12 + 7 \sqrt{3}}{8} ．$

广西桂林市六校联考2019届第三次适应性考试数学试卷