解：存在.

1）当点Q在AB边上时

∵AP=t. ∴CP=8-t，由(2)可知QE= $\frac{6}{5} t$ ，tanA= $\frac{Q E}{A E} = \frac{6}{8}$

∴AE= $\frac{8}{5}$ t，.CE=8- $\frac{8}{5}$ t，PE= $\frac{3}{5}$ t

∴由勾股定理得，PQ²= $\frac{9}{5}$ t²，CQ²=( $\frac{6}{5}$ t)²+(8- $\frac{8}{5}$ t)2=4t2- $\frac{128}{5}$ t+64

① 当CQ=CP时

∴CQ²=CP²，：4t²- $\frac{128}{5}$ t+64=(8-t）²

解得，t= $\frac{16}{5}$ ，t=0（不合题意，舍去）

② 当PQ=CQ时

∴PQ²=CQ²，∴ $\frac{9}{5}$ t²=4t²- $\frac{128}{5}$ t+64

解得，t= $\frac{40}{11}$ ，t=8(不合题意，舍去）

③ 当PQ=PC时

∴PQ²=CP²

∴ $\frac{9}{5}$ t²=（8-t）²

解得，t=6 $\sqrt{5}$ -10，t=-10-6 $\sqrt{5}$ （舍去）

2）当点Q在BC边上时，如图

∵∠ACB=90°，

∴△POC是等腰直角三角形，

∴CQ=CP，

∴8-t=16-2t，

∴t=8，∴P，Q，C重合，不合题意，

综上所述：当t= $\frac{16}{5}$ 或 $\frac{40}{11}$ 或6 $\sqrt{5}$ -10时，△PQC为等腰三角形。

江苏省太仓市2019年九年级数学教学质量调研测试