解：假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形。

① 若DE=DG，则∠DGE=∠DEG，

∴四边形ABCD是矩形，.AD∥BC，∠B=90°，

∴∠DGE=∠GEB，∴∠DEG=∠BEG，

.在△DEF和△BEF中， ${\begin{cases} ∠ F D E = ∠ B ， \\ ∠ D E F = ∠ B E F ， \\ E F = E F ， \end{cases}$

∴DEF≌△BEF. ∴DE=BE=x，CE=2-x，

在Rt△CDE中，由勾股定理，得1+（2-x)²=2，

解得x= $\frac{5}{4}$

② 若DE=EG，如图，作EH∥CD，交AD于点H.

∵AD∥BC，EH∥CD.四边形CDHE是平行四边形，∵∠C=90°，

∴四边形CDHE是矩形，.EH=CD=1，DH=CE=2-x，EH⊥DG，

∴HG=DH=2-x，∴AG=2x-2.

∵EH∥CD，CD∥AB. ∴EH∥AF，

∴△EHC∽△FAG， ∴ $\frac{E H}{A F} = \frac{H G}{A G}$

∴ $\frac{1}{4 - 2 x} = \frac{2 - x}{2 x - 2}$

解得x₁= $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ ，x₂= $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ (舍去）

③ 若DG=EG，则∠GDE=∠GED，

方法一：∵AD∥BC，∴∠GDE=∠DEC，∴∠GED=∠DEC.

∵∠C=∠EDF=90°，∴△CDE∽△DFE，∴ $\frac{C E}{C D} = \frac{D E}{D F}$

∵△CDE~△ADF，∴ $\frac{D E}{D F} = \frac{C D}{A D} = \frac{1}{2}$ ，∴ $\frac{C E}{C D} = \frac{1}{2}$

∴2-x= $\frac{1}{2}$ ，解得x= $\frac{3}{2}$ …10分

方法二：∵∠EDF=90°，

∴∠FDG+∠GDE=∠DFG+∠DEG=90°，

∴∠FDG=∠DFG，

∴FG=DG，∴FG=EG，

∵AD∥BC，∴∠FGA=∠FEB，∠FAG=∠B. ∴△FAG∽△FBE.

$\frac{F A}{F B} = \frac{F G}{F E} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{2 - 2 x}{5 - 2 x} = \frac{1}{2}$ 解得x= $\frac{3}{2}$

综上所述，x= $\frac{5}{4}$ 或 $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$

江苏省常熟市2019学年九年级数学适应性质量监测