解：存在，t＝

\frac{17}{5}

．

如图，记QE与CD的交点为F，

由题意知AP＝t，BP＝4﹣t，

∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝2，

∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，DC＝4，AD＝2，

∴∠PEB+∠BPE＝90°，

∵∠PEQ＝90°，

∴∠PEB+∠CEF＝90°，

∴∠BPE＝∠CEF，

∴△BPE∽△CEF，

∴ $\frac{B P}{C E}$ ＝ $\frac{B E}{C F}$ ，即 $\frac{4 - t}{1}$ ＝ $\frac{1}{C F}$ ，

∴CF＝ $\frac{1}{4 - t}$ ，

∴DF＝CD﹣CF＝4﹣ $\frac{1}{4 - t}$ ＝ $\frac{15 - 4 t}{4 - t}$ ，

∵∠C＝∠FDQ＝90°，∠CFE＝∠DFQ，

∴△ECF∽△QDF，

∴ $\frac{E C}{D Q}$ ＝ $\frac{C F}{D F}$ ，即 $\frac{1}{D Q}$ ＝ $\frac{\frac{1}{4 - t}}{\frac{15 - 4 t}{4 - t}}$ ，

∴DQ＝15﹣4t，

则AQ＝AD+DQ＝2+15﹣4t＝17﹣4t，

∵△APQ为等腰直角三角形，

∴AP＝AQ，即t＝17﹣4t，

解得t＝ $\frac{17}{5}$ ，

故当t＝ $\frac{17}{5}$ 时，△APQ为等腰直角三角形．

广东省肇庆市封开县七星镇中学2018-2019学年中考数学二模试卷