解：存在．

当点P在y轴左侧时，如图1，DE交AB于G点，

∵PD=PE，∠DPE=90°，

∴△DAP≌△POE，

∴PO=AD=4，

∴PA=1，OE=1，

∵AD∥OE，

∴ $\frac{A G}{O G} = \frac{A D}{O E}$ =4，

∴AG= $\frac{12}{5}$ ，

∴S_△_DAG= $\frac{1}{2}$ × $\frac{12}{5}$ ×4= $\frac{24}{5}$ ，

∴P点坐标为（﹣4，0），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为； $\frac{24}{5}$ 当P点在y轴右侧时，如图2，

DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，同理可得△DAP≌△POE，

∴PO=AD=4，

∴PA=7，OE=7，

∵AD∥OE，

∴ $\frac{A G}{O G} = \frac{A D}{O E} = \frac{4}{7}$ ，

∴OG= $\frac{21}{11}$ ，

同理可得BQ= $\frac{12}{7}$ ，

∴S_四边形_DGBQ= $\frac{1}{2}$ ×（ $\frac{21}{11}$ +1）×4+ $\frac{1}{2}$ ×4× $\frac{12}{7}$ = $\frac{712}{77}$

∴当点P的坐标为（4，0）时，此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为 $\frac{712}{77}$ ．

当点P和点A重合，此时，点E和点O重合，∴DP≠OP，此时，△PDE不是等腰三角形．

浙江省杭州市滨江区“江浦兴涛”四校2019届九年级12月五科联赛数学试卷