解：易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，

如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角

坐标系O - xyz，由 $O H = \sqrt{3}$ 易知 $P O = 2 \sqrt{3}$ ，OC＝2，

$y_{H} = O H cos 30 ° = \frac{3}{2}$ ， $z_{H} = O H sin 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

∴ $A (0 ， - 2 ， 0)$ ， $B (\sqrt{3} ， 0 ， 0)$ ， $H (0 ， \frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $C (0 ， 2 ， 0)$ ，

$P (0 ， 0 ， 2 \sqrt{3})$ ， $\overset{⇀}{A B} = (\sqrt{3} ， 2 ， 0)$ ， $\overset{⇀}{A H} = (0 ， \frac{7}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，

设平面ABH的法向量为 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，

则 ${\begin{matrix} \overset{⇀}{A B} \cdot \vec{m} = 0 \\ \overset{⇀}{A H} \cdot \vec{m} = 0 \end{matrix}$ ， ∴ ${\begin{matrix} \sqrt{3} x + 2 y = 0 \\ 7 y + \sqrt{3} z = 0 \end{matrix}$ ，取x=2，得 $\vec{m} = (2 ， - \sqrt{3} ， 7)$ ，

由（1）知 $\overset{⇀}{P C}$ 是平面BHO的法向量，易知 $\overset{⇀}{P C} = (0 ， 2 ， - 2 \sqrt{3})$ ，

设二面角A-BH-O的大小为 $θ$ ，显然 $θ$ 为锐角，

则 $cos θ = | cos 〈 \vec{m} ， \overset{⇀}{P C} 〉 |$ $= \frac{| \vec{m} \cdot \overset{⇀}{P C} |}{| \vec{m} | \cdot | \overset{⇀}{P C} |}$ $= \frac{| - 2 \sqrt{3} - 14 \sqrt{3} |}{\sqrt{56} \times 4}$ $= \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{42}}{7}$ ，

∴ 二面角A-BH-O的余弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ．

广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班理数学业水平考试试卷