解：如图，

①∵当x₁＜x₂＜0时，（x₁﹣x₂）（y₁﹣y₂）＞0，∴x₁﹣x₂＜0，y₁﹣y₂＜0，

∴当x＜0时，y随x的增大而增大；

同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，

∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，

∴b=0．∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，

∴△ABC为等腰三角形，

又∵△ABC有一个内角为60°，

∴△ABC为等边三角形．设线段BC与y轴交于点D，则BD=CD，且∠OCD=30°，又∵OB=OC=OA=2，∴CD=OC•cos30°=

\sqrt{3}

，OD=OC•sin30°=1．不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（

\sqrt{3}

，﹣1）．∵点C在抛物线上，且c=2，b=0，∴3a+2=﹣1，∴a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x²+2．

②证明：由①可知，点M的坐标为（x₁，﹣

x_{1}^{2}

+2），点N的坐标为（x₂，﹣

x_{2}^{2}

+2）．直线OM的解析式为y=k₁x（k₁≠0）．∵O、M、N三点共线，∴x₁≠0，x₂≠0，且

\frac{- x_{1}^{2} + 2}{x_{1}}

=

\frac{- x_{2}^{2} + 2}{x_{2}}

，∴﹣x₁+

\frac{2}{x_{1}}

=﹣x₂+

\frac{2}{x_{2}}

，∴x₁﹣x₂=﹣

\frac{2 (x_{1} - x_{2})}{x_{1} x_{2}}

，

∴x₁x₂=﹣2，即x₂=﹣ $\frac{2}{x_{1}}$ ，

∴点N的坐标为（﹣

\frac{2}{x_{1}}

，﹣

\frac{4}{x_{1}^{2}}

+2）．设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（

\frac{2}{x_{1}}

，﹣

\frac{4}{x_{1}^{2}}

+2）．如图，

∵点P是点O关于点A的对称点，

∴OP=2OA=4，∴点P的坐标为（0，4）．

设直线PM的解析式为y=k₂x+4，

∵点M的坐标为（x，﹣

x_{1}^{2}

+2），∴﹣

x_{1}^{2}

+2=k₂x₁+4，∴k₂=﹣

\frac{x_{1}^{2} + 2}{x_{1}}

，

∴直线PM的解析式为y=﹣ $\frac{x_{1}^{2} + 2}{x_{1}}$ +4．

∵﹣ $\frac{x_{1}^{2} + 2}{x_{1}}$ • $\frac{2}{x_{1}}$ +4= $\frac{- 2 (x_{1}^{2} + 2) + 4 x_{1}^{2}}{x_{1}^{2}}$ =﹣ $\frac{4}{x_{1}^{2}}$ +2，

∴点N′在直线PM上，

∴PA平分∠MPN．

福建省2018年中考数学试卷（A卷）