解：如图，

∵ $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4 = - \frac{1}{4} {(x - 3)}^{2} + \frac{25}{4}$ ，

∴抛物线的线的对称轴为：x=3，

可设点Q（3，t），∵点A、C的坐标分别为（-2，0）和（0，4），

∴AC= $\sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$ ，AQ= $\sqrt{5^{2} + t^{2}} = \sqrt{25 + t^{2}}$ ，CQ= $\sqrt{3^{2} + {(t - 4)}^{2}}$ ，

i）当AQ=CQ时，

有 $\sqrt{25 + t^{2}} = \sqrt{3^{2} + {(t - 4)}^{2}}$ ，即25+t²=t²﹣8t+16+9，

解得t=0，

∴Q₁（3，0）；

ii）当AC=AQ时，

有 $2 \sqrt{5} = \sqrt{25 + t^{2}}$ ，即 $t^{2} = - 5$ ，此方程无实数根，

∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；

iii）当AC=CQ时，

有 $2 \sqrt{5} = \sqrt{3^{2} + {(t - 4)}^{2}}$ ，即：t²﹣8t+5=0，

解得：t=4± $\sqrt{11}$ ，

∴点Q坐标为：Q₂（3，4+ $\sqrt{11}$ ），Q₃（3，4﹣ $\sqrt{11}$ ）．

综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q₁（3，0），Q₂（3，4+ $\sqrt{11}$ ），Q₃（3，4﹣ $\sqrt{11}$ ）.

广西贵港市平南县2018届九年级中考数学二模试卷