解：①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．

∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，∠DAF=∠BAH，

∴∠EAH=∠EAF=45°，

∵EA=EA，AH=AF，

∴△EAH≌△EAF，

∴EF=HE，

∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，

∴∠HBE=90°，

在Rt△BHE中，HE²=BH²+BE²，

∵BH=DF，EF=HE，

∵EF²=BE²+DF²，

∴E、F是线段BD的勾股分割点．

②证明：如图4中，连接FM，EN．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，

∵∠MAN=45°，

∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，

∴△AFE∽△DFN，

∴∠AEF=∠DNF， $\frac{A F}{D F} = \frac{E F}{F N}$ ，

∴ $\frac{A F}{E F} = \frac{D F}{F N}$ ，∵∠AFD=∠EFN，

∴△AFD∽△EFN，

∴∠DAF=∠FEN，

∵∠DAF+∠DNF=90°，

∴∠AEF+∠FEN=90°，

∴∠AEN=90°

∴△AEN是等腰直角三角形，

同理△AFM是等腰直角三角形；

∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，

∴AM= $\sqrt{2}$ AF，AN= $\sqrt{2}$ AE，

∵S_△AMN= $\frac{1}{2}$ AM•AN•sin45°，

S_△AEF= $\frac{1}{2}$ AE•AF•sin45°，

∴ $\frac{S △ A M N}{S △ A E F} = \frac{\frac{1}{2} A M • A N • \sin 45 °}{\frac{1}{2} A E • A F • \sin 45 °}$ =2，

∴S_△AMN=2S_△AEF．

辽宁省鞍山市铁西区2018届数学中考模拟试卷（3月）