解：存在，理由如下；

∵F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称，

∴F′(1－t，0)，

∵点Q是MF′的中点，

∴Q(1－ $\frac{1}{2}$ t，0)，

①当1＜t＜2时，如图，有OQ＝1－ $\frac{1}{2}$ t，

由（1）得∴NE＝MF＝t，OE＝t－1．

当△OEQ∽△MPF时，

∴

\frac{O E}{M P} = \frac{O Q}{M F}

，∴

\frac{t - 1}{t} = \frac{1 - \frac{1}{2} t}{t}

，

解得，t＝ $\frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ 或t＝ $\frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ (舍去)；

当△OEQ∽△MFP时， $\frac{O E}{M F} = \frac{O Q}{M P}$ ，

∴

\frac{t - 1}{t} = \frac{1 - \frac{1}{2} t}{1}

，解得，t＝

\sqrt{2}

或t＝

- \sqrt{2}

(舍去)；

②当t＞2时，如图，有OQ＝ $\frac{1}{2}$ t－1，

由（1）得NE＝MF＝t，OE＝t－1，

当△OEQ ∽△MPF， $\frac{O E}{M P} = \frac{O Q}{M F}$ ，

∴

\frac{t - 1}{1} = \frac{\frac{1}{2} t - 1}{t}

，无解；当△OEQ ∽△MFP时，

\frac{O E}{M F} = \frac{O Q}{M P}

；∴

\frac{t - 1}{t} = \frac{\frac{1}{2} t - 1}{1}

，

解得 $t = 2 + \sqrt{2}$ 或 $t = 2 - \sqrt{2} < 2$ （舍去）．

综上所述，当t＝

\frac{1 + \sqrt{17}}{4}

，t＝

\sqrt{2}

，

t = 2 + \sqrt{2}

时，使得△QOE与△PMF相似

江苏省盐城市亭湖区2018届九年级毕业班数学第一次调研测试卷