如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD＝BA ， 作∠ABC的平分线与AD相交于点P ， 连结PC ， 若△ABC的面积为 ， 则△BPC的面积为（   ）．

装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（　　）

（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想．

（2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，

①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．

②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．

八（3）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：

（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．

阅读回答下列问题：

（1）如图1，已知和 ， 点、、在一条直线上，且 ， ， 求证：；

【模型运用】

（2）如图2，在等边中，、分别为 ， 边上的点，且 ， ， 连接 ． 若 ， 求证：；

【能力提升】

（3）如图3，等边的面积是25， ， 点、分别为、边上的动点， ， 连接 ， 以为边在内作等边 ， 连接 ， 当点从点运动到点 ， 请在图3中作出点的运动轨迹，并求出点的运动路程．