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题型：解答题题类：难易度：普通

广东省广州市真光中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径 $\text{[math]}$ 千米，点 $\text{[math]}$ 是半圆的圆心，在圆弧上取点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，把四边形 $\text{[math]}$ 建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ；

（1）、求塑胶跑道的总长 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式；

（2）、当 $\text{[math]}$ 为何值时，塑胶跑道的总长 $\text{[math]}$ 最长，并求出 $\text{[math]}$ 的最大值．

举一反三

函数f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，﹣1）．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．

2012年，商品价格一度成为社会热点话题，某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，由于政府及时采取有效措施，从而使后60天的价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表

时间	第4天	第32天	第60天	第90天
价格（元）	23	30	22	7

已知函数f（x²﹣1）=log_a $\text{[math]}$ （a＞0且a≠1）

设函数f（x）= $\text{[math]}$ 的最大值为M，最小值为m，则M+m={#blank#}1{#/blank#}．

凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x₁ ， x₂ ， …，x_n ，有 $\text{[math]}$ ≤f（ $\text{[math]}$ ），已知函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为{#blank#}1{#/blank#}

若幂函数 $\text{[math]}$ 的图像过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的解析式为{#blank#}1{#/blank#}．

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