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题型：解答题题类：难易度：困难

广西壮族自治区玉林市2025届高三第一次教学质量监测数学试题

已知：①定积分的定义：

设 $\text{[math]}$ 为定义在 $\text{[math]}$ 上的连续非负函数，为求 $\text{[math]}$ 轴围成的曲边梯形的面积，可采取如下方法：

将区间 $\text{[math]}$ 分为 $\text{[math]}$ 个小区间，每个小区间长度为 $\text{[math]}$ ，每个区间即可表示为 $\text{[math]}$ ，再分别过每个区间的左右端点作 $\text{[math]}$ 轴的垂线与 $\text{[math]}$ 图象相交，即可得到一个小的曲边梯形.如图，

当 $\text{[math]}$ 时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内的任一点的函数值近似代替（一般用区间端点的函数值），将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和即为所求的由 $\text{[math]}$ 轴围成的曲边梯形的面积，即 $\text{[math]}$ ，上式也记为 $\text{[math]}$ ，即对 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上求定积分.

②定积分的计算： $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ .

根据以上信息，回答以下问题：

（1）、已知 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

（2）、将 $\text{[math]}$ 轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值；

（3）、试证明： $\text{[math]}$ .

举一反三

$\text{[math]}$ 等于（）

由直线y=x﹣4，曲线y= $\text{[math]}$ 以及y=0所围成的图形的面积为（）

若f（x）=x²+2 $\text{[math]}$ f（x）dx，则 $\text{[math]}$ f（x）dx=（）

曲线y=x³+x在x=1处的切线与x轴，直线x=2所围成的三角形的面积为{#blank#}1{#/blank#}．

若（x+ $\text{[math]}$ ）ⁿ的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y= $\text{[math]}$ x与曲线y=x²所围成的封闭区域面积为{#blank#}1{#/blank#}．

$\text{[math]}$ （）

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