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题型：解答题题类：难易度：困难

浙江省金华市曙光学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段 $\text{[math]}$ 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用 $\text{[math]}$ 表示，称“曼哈顿距离”，也叫“折线距离”，即 $\text{[math]}$ ，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

（1）、①点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②写出到定点 $\text{[math]}$ 的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程，

（2）、已知点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的“曼哈顿距离”最小值；

（3）、我们把到两定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“曼哈顿距离”之和为常数 $\text{[math]}$ 的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”.

（i）求“曼哈顿椭圆”的方程；

（ii）根据“曼哈顿椭圆”的方程，研究“曼哈顿椭圆”性质中的范围、对称性，并说明理由.

举一反三

以A(5，5)，B(1，4)，C?(4，1)为顶点的三角形是

设圆 $\text{[math]}$ 的圆心为A ，直线 $\text{[math]}$ 过点B（1，0）且与 $\text{[math]}$ 轴不重合， $\text{[math]}$ 交圆A于C ， D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（Ⅰ）证明： $\text{[math]}$ 为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C₁ ，直线 $\text{[math]}$ 交C₁于M ， N两点，过B且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线与C₁交于P ， Q两点，求证： $\text{[math]}$ 是定值，并求出该定值.

如图，正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则线段 $\text{[math]}$ 的长度为{#blank#}1{#/blank#}.

已知点 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的图象上任意一点，点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，则线段 $\text{[math]}$ 的长度的最小值为（）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （a为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .

已知直线l与椭圆 $\text{[math]}$ 交于A，B两点.

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