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题型：解答题题类：难易度：困难

浙江省金华市曙光学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段 $\text{[math]}$ 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用 $\text{[math]}$ 表示，称“曼哈顿距离”，也叫“折线距离”，即 $\text{[math]}$ ，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

（1）、①点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②写出到定点 $\text{[math]}$ 的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程，

（2）、已知点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的“曼哈顿距离”最小值；

（3）、我们把到两定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“曼哈顿距离”之和为常数 $\text{[math]}$ 的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”.

（i）求“曼哈顿椭圆”的方程；

（ii）根据“曼哈顿椭圆”的方程，研究“曼哈顿椭圆”性质中的范围、对称性，并说明理由.

举一反三

如图，已知抛物线E：y²=x与圆M：（x﹣4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．

（Ⅰ）求r的取值范围；

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．

到直线 $\text{[math]}$ 的距离为2的点的轨迹方程是（）

已知定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为{#blank#}1{#/blank#}.

如图，正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则线段 $\text{[math]}$ 的长度为{#blank#}1{#/blank#}.

过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，且倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线于不同的两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则弦长 $\text{[math]}$ 的值为（）

半圆 $\text{[math]}$ 的直径的两端点为 $\text{[math]}$ ,点 $\text{[math]}$ 在半圆 $\text{[math]}$ 及直径 $\text{[math]}$ 上运动,若将点 $\text{[math]}$ 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点 $\text{[math]}$ ,记点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .

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