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题型：阅读理解题类：难易度：普通

湖南省郴州市汝城县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

先阅读下面的材料，然后解答问题．通过计算，发现方程：

$\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

……

（1）观察上述方程的解，猜想关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的解是_____．

（2）根据上面的规律，猜想关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的解是_______．

（3）类似地，关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的解是______．

（4）请利用上述规律求关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的解．

举一反三

不定方程 $\text{[math]}$ 的正整数解 $\text{[math]}$ 的组数是（）

由菜鸟网络打造的一个仓库有相同数量的工人和机器人，均为x名（其中x＞5），平时每天都只工作8小时，每名机器人每小时加工包裹（分、拣、包装一体化）的数量是每名工人每小时加工包裹数量的2倍.随着“春节”临近，人工短缺，寄年货的包裹增多，公司决定再增加2名机器人，且将机器人每天工作时间延长至12小时，并对每名机器人进行升级改造，让现在每名机器人每小时加工包裹的数量在原有基础上增加x个，结果现在所有机器人每天加工包裹的数量是所有工人平时每天加工包裹数量的6倍，则该仓库平时一天加工{#blank#}1{#/blank#}个包裹.

将1，2，3 … n这n个数据顺时针排成一圈，从1开始，顺时针方向采取保留一个划去一个的规则，直至只留下一个数，将这个数记为 $\text{[math]}$ ．当n取不同值时，可得到对应情况下的 $\text{[math]}$ ，并将所有 $\text{[math]}$ 形成一组新数据．下列说法中，正确的个数为（）

①无论n为多少， $\text{[math]}$ 一定为奇数；

② $\text{[math]}$ ；

③记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

④当n从1取到18时，将形成的新数据 $\text{[math]}$ 依次顺时针排成一圈，从 $\text{[math]}$ 开始，再进行同一种操作，最后留下来的数为3．

若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，以下结论：① $\text{[math]}$ ；②关于x的方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 的所有可能取值为0和2；其中正确结论是（）

若 $\text{[math]}$ 是关于x的方程 $\text{[math]}$ 的解，则代数式 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}．

（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M，N在斜边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，你能求出 $\text{[math]}$ 的长度吗？

小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路：

思路一：将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，显然 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；求出 $\text{[math]}$ 的长度；

思路二：将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，显然 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的长度；

请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程．

（2）【类比探究】如图2，在等边 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．（直接写出答案）

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