（1）情境1：如图1所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，小球相对平衡位置的位移x随时间t的变化规律可用方程描述，其中为小球相对平衡位置O时的最大位移，m为小球的质量，k为弹簧的劲度系数。请在图2中画出弹簧的弹力F随位移x变化的示意图，并求出小球从C点到O点的时间。

（2）情境2：假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，地球的半径为R，万有引力常数为G。

a．根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，在图3中画出质量为m的小球所受万有引力F与小球到球心之间的距离r的图像，并标出时的纵坐标；

b．若通过地球的南北两极之间能够打通一个真空隧道，把一个质量为m的小球从北极的隧道口（地面处）由静止释放后，小球能够在隧道内运动。求小球从隧道口到地心的时间。

（1）平抛运动是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。一质点以初速度在竖直面内做平抛运动，以抛出点为原点，以的方向为x轴的正方向，竖直向下为y轴的正方向建立坐标系。

a．某时刻质点速度与水平方向的夹角为 ， 质点相对于抛出点的位移与水平方向的夹角为 ， 请证明与满足：；

b．请写出质点的轨迹方程。

（2）简谐运动的质点所受回复力F与位移x成正比，且方向总和位移相反，即 ， 其中k为常数。如图所示，竖直平面内有一光滑的抛物线轨道，其轨迹方程与（1）问中求得的结果相同。现有一质量为m的小珠子套在轨道上，且可在轨道上自由滑动。若将小珠子从轨道上距轨道中心O点很近的地方由静止释放，小珠子将围绕O点做往复运动。请证明小珠子在轨道中心O点附近的往复运动是简谐运动（当很小时，）。

（3）做匀速圆周运动的质点，其合力总指向圆心，大小等于质量乘以向心加速度。若第（2）问的抛物线轨道绕y轴转动，请讨论并说明当以不同角速度匀速转动时，小珠子能否相对轨道静止？若能，请说明相对静止的位置。

（1）弹簧的劲度系数k；

（2）小球运动到最高点时加速度的大小；

（3）写出小球相对平衡位置的位移随时间变化的正弦关系式。