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题型：解答题题类：难易度：困难

江西省新余市第四中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的一条渐近线的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）、求 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）、过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.

举一反三

已知双曲线C₁： $\text{[math]}$ 的离心率为2，若抛物线C₂：y²=2px(p>0)的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离是2，则抛物线C₂的方程是( )

我们把离心率e= $\text{[math]}$ 的双曲线 $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图是双曲线 $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0，c= $\text{[math]}$ ）的图象，给出以下几个说法：

①若b²=ac，则该双曲线是黄金双曲线；

②若F₁ ， F₂为左右焦点，A₁ ， A₂为左右顶点，B₁（0，b），B₂（0，﹣b）且∠F₁B₁A₂=90°，则该双曲线是黄金双曲线；

③若MN经过右焦点F₂且MN⊥F₁F₂ ， ∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确命题的序号为{#blank#}1{#/blank#}．

已知圆C的圆心在双曲线E：x²﹣ $\text{[math]}$ =1的右支上，圆C过双曲线E的右焦点F，且与直线x=﹣2相切，则圆C截x轴所得的线段长为（）

已知直线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交AB于点D，点D的坐标为(1，2)，求 $\text{[math]}$ 的面积.

已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为2，过右焦点且垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线与双曲线交于 $\text{[math]}$ 两点. 设 $\text{[math]}$ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线的方程为{#blank#}1{#/blank#}．

如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，左顶点为 $\text{[math]}$ ，经过点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .

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