- 二一组卷

题型：作图题题类：难易度：普通

重庆市忠县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

小明在学习了三角形的中位线定理后，在梯形ABCD中，已知 $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 中点，小明进一步按如下步骤作图：作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，标出线段 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交线段 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）、用直尺和圆规，在图中完成小明的作图（只保留作图痕迹）；

（2）、请进一步帮助小明完成证明，将编号处的正确内容填写在答题卡对应位置.

证明： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ① ，

又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，由对顶角相等得② ，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，

$\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ③所以，连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于④.

举一反三

如图，已知AD∥CD，∠1=109°，∠2=120°，则∠α的度数是（）

如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是（）

如图，△ABC中，AB=63，AC=50，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，过点O作BC的平行线MN交AB于点M，交AC于点N，则△AMN的周长为{#blank#}1{#/blank#}.

如图， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

观察、猜想、探究：

在△ABC中，∠ACB＝2∠B．

（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，过D作AB的垂线DE，垂足为E，可以发现AB、AC、CD存在的数量关系是；

（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD是否还存（1）中的数量关系？如果存在，请给出证明．如果不存在，请说明理由；

（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

已知矩形 $\text{[math]}$ 的一条边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，将矩形 $\text{[math]}$ 沿折痕 $\text{[math]}$ 折叠，使得顶点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ （如图1）．

（1）求 $\text{[math]}$ 的长

（2）擦去折痕 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合）． $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上的一个动点，并且满足 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （如图2）．

①若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的长；

②试问当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在移动过程中，线段 $\text{[math]}$ 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 $\text{[math]}$ 的长度．

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