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题型：实践探究题题类：难易度：困难

2024年广西壮族自治区贵港市九年级中考二模数学试题

小东在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小东继续利用上述结论进行探究．

【提出问题】

如图1，在线段 $\text{[math]}$ 同侧有两点B，D，连接 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的 $\text{[math]}$ ，在劣弧 $\text{[math]}$ 上取一点E（不与A，C重合），

连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，

又∵ $\text{[math]}$ ，

∴___________，

∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），

∵点B，D在点A，C，E所确定的 $\text{[math]}$ 上，

∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．

【反思归纳】

（1）上述探究过程中的横线上填的内容是________；

【拓展延伸】

（2）如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，连接 $\text{[math]}$ ．小东发现，在旋转过程中， $\text{[math]}$ 永远等于 $\text{[math]}$ ，不会发生改变．

①根据 $\text{[math]}$ ，利用四点共圆的思想，试证明 $\text{[math]}$ ；

②当 $\text{[math]}$ 为直角三角形，且 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

举一反三

如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是（）

如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）

如图：△ABC≌△BAD，如果AB=5，BD=4，AD=6，那么BC的长是（）

如图，已知矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的任一点，连接 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则图中共有相似三角形（）

【综合与实践学习】：

阅读下面的证明过程：如图1， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是直角三角形，其中 $\text{[math]}$ ，且直角顶点都在直线l上，求证： $\text{[math]}$ ．

证明：由题意， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．

请结合以上阅读，解决下列问题：

如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为{#blank#}1{#/blank#}．

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