- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：普通

浙江省初中名校发展共同体2024年九年级下学期数学中考模拟试卷（3月份）

数学实验

生活中，常常遇到需要测量物体长度、角度的情况，小聪同学思考：是否有既能测量长度，又能测量角度的多功能直尺？

小聪想自己做这样一把尺子：如图1，小聪准备了两条宽度为3cm的矩形纸带，并在点C处用可以转动的纽扣固定．小聪借助直角三角板的特殊度数，比较容易的找到表示 90°，60°，45°，30°角的刻度位置．那么另外的度数怎样标出呢？小聪开始思考原理：

（1）、如图2，小聪将两条纸条叠合形成的四边形ABCD画出来，并分别作边DA ， BA的延长线AF ， AH ．小聪发现：①四边形ABCD是菱形；②∠FAH＝2∠ACD ．请证明这两个结论．

（2）、小聪发现，在（1）的基础上，表示 90°，60°，45°，30°角的刻度位置可以用三角形的边角关系表示出来，当∠FAH＝90°时，∠ACD＝45°，则有CE＝AE＝3cm ，因此表示 90°角的位置就可以通过计算找到．请利用小聪的思路，算出表示 60°角的位置与点C的距离（精确到0.01）．（参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.414， $\text{[math]}$ ≈1.732， $\text{[math]}$ ）．

（3）、在以上思路启发下，小聪发现，在（1），（2）的基础上，对于任意位置的刻度的表示，只要完成三步任务：第一步，测量出直角△ACE 的直角边CE的长度m；第二步，计算出 $\text{[math]}$ 的值，这个值恰好是∠α 的正切值，即tanα＝ $\text{[math]}$ ；第三步，利用计算器算出α的值，并在尺子上标出刻度即可．做出的尺子如图3所示．

请根据以上思路，计算出图2中CE的长度分别为4，2，1时，表示的角的刻度是多少（精确到分）．

（参考数据：tan4°12'≈0.34，tan4°18'≈0.752，tan56°18'≈1.4994，tan56°24'≈1.5051，tan71°30'≈2.989，tan71°36'≈3.006）．

举一反三