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题型：解答题题类：难易度：普通

湖南省怀化市八县九校联合调研考试2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

定义：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以一元二次方程 $\text{[math]}$ 为“限根方程”．

请阅读以上材料，回答下列问题：

（1）、判断一元二次方程 $\text{[math]}$ 是否为“限根方程”，并说明理由；

（2）、若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 是“限根方程”，且方程的两根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求k的值．

举一反三

已知关于x的一元二次方程x²﹣（3k+1）x+2k²+2k=0

（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？

已知m，n是方程x²+2x﹣5=0的两个实数根，则m²+3mn+n²={#blank#}1{#/blank#}．

先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：（x+y）²+2（x+y）+1．

解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则

原式=A²+2A+1=（A+1）²

再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）² ．

上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．

对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d₁ ，到y轴的距离为d₂ ，若 d1≥d₂ ，则称d₁为点P的最大距离；若 d₁＜d₂ ，则称 d₂为点P的最大距离.例如：点P（ -3 ， 4 ）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P的最大距离为 4 .若点C在直线 y=-x-2 上，且点C的最大距离为 5 ，则点C的坐标是{#blank#}1{#/blank#}.

已知方程 x²+2x-1=0 的两根分别为 x₁ ， x₂ ，则 x₁+x₂={#blank#}1{#/blank#}.

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