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题型:实践探究题 题类: 难易度:困难

湖北省鄂州市2023年数学中考试卷

某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)型抛物线图象.发现:如图1所示,该类型图象上任意一点P到定点F(0,)的距离PF,始终等于它到定直线l:y=的距离PN (该结论不需要证明).他们称:定点F为图象的焦点,定直线l为图象的准线,y=叫做抛物线的准线方程.准线l与y轴的交点为H.其中原点O为FH的中点,FH=2OF= . 例如,抛物线y=2x2 , 其焦点坐标为F(0,),准线方程为l:y= , 其中PF=PN,FH=2OF=

(1)、【基础训练】请分别直接写出抛物线y=的焦点坐标和准线l的方程:
(2)、【技能训练】如图2,已知抛物线y=上一点P(x0 , y0)(x0>0)到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍,求点P的坐标;
(3)、【能力提升】如图3,已知抛物线y=的焦点为F,准线方程为l.直线m:y=交y轴于点C,抛物线上动点P到x轴的距离为d1 , 到直线m的距离为d2 , 请直接写出d1+d2的最小值;
(4)、【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现:若将抛物线y=ax2(a>0)平移至y=a(x-h)2+k(a>0).

抛物线y=a(x-h)2+k(a>0)内有一定点F(h,),直线l过点M(h,)且与x轴平行.当动点P在该抛物线上运动时,点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离(该结论不需要证明).例如:抛物线y=2(x-1)2+3上的动点P到点F(1,)的距离等于点P到直线l:y=的距离.

请阅读上面的材料,探究下题:

如图4,点D(-1,)是第二象限内一定点,点P是抛物线y=-1上一动点.当PO+PD取最小值时,请求出△POD的面积.

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