- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

湖北省鄂州市2023年数学中考试卷

某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax²（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0， $\text{[math]}$ ）的距离PF，始终等于它到定直线l：y= $\text{[math]}$ 的距离PN　（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y= $\text{[math]}$ 叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= $\text{[math]}$ ．例如，抛物线y=2x² ，其焦点坐标为F（0， $\text{[math]}$ ），准线方程为l：y= $\text{[math]}$ ，其中PF=PN，FH=2OF= $\text{[math]}$ ．

（1）、【基础训练】请分别直接写出抛物线y= $\text{[math]}$ 的焦点坐标和准线l的方程：，；

（2）、【技能训练】如图2，已知抛物线y= $\text{[math]}$ 上一点P（x₀ ， y₀）（x₀＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；

（3）、【能力提升】如图3，已知抛物线y= $\text{[math]}$ 的焦点为F，准线方程为l．直线m：y= $\text{[math]}$ 交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d₁ ，到直线m的距离为d₂ ，请直接写出d₁+d₂的最小值；

（4）、【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax²（a＞0）平移至y=a(x-h)²+k（a＞0）．

抛物线y=a(x-h)²+k（a＞0）内有一定点F（h， $\text{[math]}$ ），直线l过点M（h， $\text{[math]}$ ）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP₁始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y=2(x-1)²+3上的动点P到点F（1， $\text{[math]}$ ）的距离等于点P到直线l：y= $\text{[math]}$ 的距离．