- 二一组卷

题型：综合题题类：难易度：困难

甘肃省兰州市2023年中考数学试卷

在平面直角坐标系中，给出如下定义： $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ 上任意一点，如果点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离等于图形 $\text{[math]}$ 上任意两点距离的最大值时，那么点 $\text{[math]}$ 称为直线 $\text{[math]}$ 的“伴随点”．

例如：如图1，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，则点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 轴的“伴随点”．

（1）、如图2，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点，直线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，当点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 的“伴随点”时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）、如图3， $\text{[math]}$ 轴上方有一等边三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上且在 $\text{[math]}$ 上方， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，且点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 轴的 $\text{[math]}$ 伴随点 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离最小时，求等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长；

（3）、如图4，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的正方形 $\text{[math]}$ 上始终存在点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 伴随点 $\text{[math]}$ ．请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．