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题型：综合题题类：难易度：普通

安徽省宿州市2023年中考一模数学试题

阿基米德（公元前287年-公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在弦 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

学习小组中的一位同学进行了如下证明：

如图2，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

……

请完成下列的任务：

（1）、完成上面的证明：

（2）、如图3，将上述问题中弦 $\text{[math]}$ 改为直径 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

举一反三

如图，在平面直角坐标系内，已知直线l₁经过原点O 及A（2，2 $\text{[math]}$ ）两点，将直线l₁向右平移4个单位后得到直线l₂ ，直线l₂与x 轴交于点B．

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE=5，CE=3，则DF的长是（）

如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．

如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．

如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦，C为 $\text{[math]}$ 上一点，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点D ，连接 $\text{[math]}$ 并延长，与 $\text{[math]}$ 交于点E ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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