- 二一组卷

题型：实践探究题题类：真题难易度：困难

湖北省鄂州市2022年中考数学试卷

某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax²（a＞0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0， $\text{[math]}$ ）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣ $\text{[math]}$ 上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣ $\text{[math]}$ 叫做抛物线的准线方程.其中原点O为FH的中点，FH=2OF= $\text{[math]}$ ，例如，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x² ，其焦点坐标为F（0， $\text{[math]}$ ），准线方程为l：y＝﹣ $\text{[math]}$ .其中MF=MN，FH=2OH=1.

（1）、【基础训练】

请分别直接写出抛物线y＝2x²的焦点坐标和准线l的方程：，.

（2）、【技能训练】

如图2所示，已知抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；

（3）、【能力提升】

如图3所示，已知过抛物线y＝ax²（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C.若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；

（4）、【拓展升华】

古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ .后人把 $\text{[math]}$ 这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.