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题型：实践探究题题类：真题难易度：困难

江西省2022年中考数学真题

问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板 $\text{[math]}$ 的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．

（1）、操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合时，重叠部分的面积为；当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积 $\text{[math]}$ 与S的关系为；

（2）、类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中， $\text{[math]}$ 分别与正方形的边相交于点M，N．

①如图2，当 $\text{[math]}$ 时，试判断重叠部分 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

②如图3，当 $\text{[math]}$ 时，求重叠部分四边形 $\text{[math]}$ 的面积（结果保留根号）；

（3）、拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为 $\text{[math]}$ （设 $\text{[math]}$ ），将 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转，在旋转过程中， $\text{[math]}$ 的两边与正方形 $\text{[math]}$ 的边所围成的图形的面积为 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值与最大值（分别用含 $\text{[math]}$ 的式子表示），

（参考数据： $\text{[math]}$ ）

举一反三

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（）

如图，已知正方形ABCD，AB＝2，E是对角线BD上一点，F是射线CB上一点，且EF＝EC．

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，点D是边AB上的一个动点，以CD为直径作⊙O交AB的另一点于F，交AC的另一点于E，将点E绕点F按逆时针方向旋转120°得到点E'，当点D在线段BF上时，点E'始终在⊙O上，则点D由B出发，运动到与点F重合停止，点E'所经过的路径的长是（）

如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，且A′点在AB上，A′B′交CB于点D，若∠BCB′＝α，则∠CA′B′的度数为（）

图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（）平方单位.

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