题型：填空题 题类：模拟题 难易度：困难
山东省青岛市黄岛区2021年中考数学一模试卷
（问题探究）：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．
探究一：将一个边长为2的菱形的四条边分别2等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
如图1，从上往下，共有2行，我们先研究平行四边形的个数：
①第一行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个；
②第二行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个；
为了便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括斜边长为2，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个．
即：第二行平行四边形共有2×3个．
所以如图1，平行四边形共有2×3＋3＝9＝（2＋1）2 ．
我们再研究菱形的个数：
分析：边长为1的菱形共有22个，边长为2的菱形共有12个，
所以：如图1，菱形共有22＋12＝5＝ ×2×3×5个．
探究二：将一个边长为3的菱形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？
如图2，从上往下，共有3行，我们先研究平行四边形的个数：
①第一行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；
②第二行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；底在第二行还包括斜边长为2，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个，即：第二行平行四边形共有2×6个．
③第三行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；
底在第三行还包括斜边长为2，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个．
底在第三行还包括斜边长为3，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个，即：第三行平行四边形共有3×6个．
所以如图2，平行四边形共有3×6＋2×6＋6＝（3＋2＋1）×6＝（3＋2＋1）2 ．
我们再研究菱形的个数：分析：边长为1的菱形共有32个，边长为2的菱形共有22个，边长为3的菱形共有12个．所以：如图2，菱形共有32＋22＋12＝14＝ ×3×4×7个．
如图3，从上往下，共有4行，我们先研究平行四边形的个数：
①第一行有斜边长为1，底长为1～4的平行四边形，共有4＋3＋2＋1＝10个；
②第二行有斜边长为1，底长为1～4的平行四边形，共有4＋3＋2＋1＝10个；底在第二行还包括斜边长为2，底长为1～4的平行四边形，共有4＋3＋2＋1＝10个，即：第二行平行四边形共有2×10个．
③模仿上面的探究，第三行平行四边形总共有个．
④按照上边的规律，第四行平行四边形总共有个．
所以，如图3，平行四边形总共有个．
分析：边长为1的菱形共有42个，边长为2的菱形共有32个，边长为3的菱形共有22个，边长为4的菱形共有12个．
所以：如图3，菱形共有42＋32＋22＋12＝ ×个，（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）
（拓展延伸）将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，当该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形个数之比是135∶19时，则n＝．
试题篮
