- 二一组卷

题型：综合题题类：常考题难易度：困难

河南省郑州市巩义市2021届九年级上学期数学期末考试试卷

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），得到 $\text{[math]}$ .

（1）、如图①，当 $\text{[math]}$ 时，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形.

图①

（2）、如图②，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，在旋转的过程中， $\text{[math]}$ 的值是否发生变化？如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由.

图②

（3）、如图③，设 $\text{[math]}$ 中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 长度最大，最大值为.

图③

举一反三

如图，已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象的顶点为M（2，1），且过点N（3，2）．

（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若一次函数y＝ $\text{[math]}$ x-4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，以PQ为直径作圆交直线AB于点D．设点P的横坐标为n，问：当n为何值时，线段DQ的长取得最小值？最小值为多少？