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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

山东省青岛市市南区2019-2020学年七年级上学期数学期末试卷

问题提出：用若干个边长为1的小等边三角形拼成 $\text{[math]}$ 层的大等边三角形，共需要多少个小等边三角形？共有线段多少条？

图① 图② 图③

问题探究：

如图①，是一个边长为1的等边三角形，现在用若干个这样的等边三角形再拼成更大的等边三角形.

用图①拼成两层的大等边三角形，如图②，从上往下，第一层有1个，第二层有2个，共用了 $\text{[math]}$ 个图①的等边三角形，则有长度为1的线段 $\text{[math]}$ 条；还有边长为2的等边三角形1个，则有长度为2的线段 $\text{[math]}$ 条；所以，共有线段 $\text{[math]}$ 条.

用图①拼成三层的大等边三角形，如图③，从上往下，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，共用了 $\text{[math]}$ 个图①的等边三角形，则有长度为1的线段 $\text{[math]}$ 条；还有边长为2的等边三角形 $\text{[math]}$ 个，则有长度为2的线段 $\text{[math]}$ 条；还有边长为3的等边三角形1个，则有长度为3的线段 $\text{[math]}$ 条；所以，共有线段条.……

问题解决：

（1）、用图①拼成四层的大等边三角形，共需要多少个图①三角形？共有线段多少条？请在方框中画出一个示意图，并写出探究过程；

（2）、用图①拼成20层的大等边三角形，共用了个图①三角形，共有线段条；

（3）、用图①拼成 $\text{[math]}$ 层的大等边三角形，共用了个图①三角形，共有线段条，其中边长为2的等边三角形共有个.

（4）、拓展提升：如果用边长为3的小等边三角形拼成边长为30的大等边三角形，共需要个小等边三角形，共有线段条.

举一反三

如图，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为（ )

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（　　）

如图，是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以O为起点结六条线OA，OB，OC，OD，OE，OF后，再从线OA上某点开始按逆时针方向依次在OA，OB，OC，OD，OE，OF，OA，OB…上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，…，那么第2016个结点在（）

我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P₁P₂ ， P₂P₃ ， P₃P₄ ， …得到螺旋折线（如图），已知点P₁（0，1），P₂（﹣1，0），P₃（0，﹣1），则该折线上的点P₉的坐标为（）

如图是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火柴棍时的正方形，当边长为n根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S，则S＝{#blank#}1{#/blank#}（用含n的代数式表示，n为正整数）．

按图(1)﹣(3)的方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式维续摆放，如果摆放的餐桌为x张，摆放的椅子为y把，则y与x之间的关系式为（）

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