北京市丰台区2017-2018学年高三上学期理数期末考试试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 在极坐标系 $\text{[math]}$ 中，方程 $\text{[math]}$ 表示的曲线是（）

A . 直线 B . 圆 C . 椭圆 D . 双曲线

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4. 若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . -2 B . -1 C . 1 D . 2

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5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 $\text{[math]}$ 的值在区间 $\text{[math]}$ 内，那么输出的 $\text{[math]}$ 属于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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7. 过双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点 $\text{[math]}$ 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为 $\text{[math]}$ 为坐标原点，若 $\text{[math]}$ ，则此双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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8. 全集 $\text{[math]}$ ，非空集合 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 中的点在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 内形成的图形关于 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴和直线 $\text{[math]}$ 均对称.下列命题：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中至少有8个元素；
③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中元素的个数一定为偶数；
④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
其中正确命题的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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9. 已知单位向量 $\text{[math]}$ 的夹角为120°，则 $\text{[math]}$ ．

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10. 若复数 $\text{[math]}$ 在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数 $\text{[math]}$ ．

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11. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 项的系数是（用数字作答）．

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12. 等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为2，且 $\text{[math]}$ 成等比数列，那么 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前9项和 $\text{[math]}$ ．

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13. 能够说明“方程 $\text{[math]}$ 的曲线是椭圆”为假命题的一个 $\text{[math]}$ 的值是．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
①当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有个零点；
②若函数 $\text{[math]}$ 有三个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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15. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求角 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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16. 某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.
根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的值；
（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；
（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为 $\text{[math]}$ ，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ .

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17. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是矩形，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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18. 已知函数 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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19. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，动点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离和它到直线 $\text{[math]}$ 的距离相等，记点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 得方程；
（Ⅱ）设点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 轴上一点 $\text{[math]}$ （在点 $\text{[math]}$ 右侧）满足 $\text{[math]}$ .平行于 $\text{[math]}$ 的直线与曲线 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，试判断直线 $\text{[math]}$ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

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20. 在数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ 是整数，且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）.
（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 的值；
（Ⅱ）若在数列 $\text{[math]}$ 的前2018项中，奇数的个数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 得最大值；
（Ⅲ）若数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是奇数， $\text{[math]}$ ，证明：对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不是4的倍数.

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北京市丰台区2017-2018学年高三上学期理数期末考试试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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