上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

修改时间：2024-12-13 浏览次数：18 类型：期中考试编辑

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一、填空题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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2. 若 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部是．

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3. 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角是．

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4. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为．

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5. 已知点 $\text{[math]}$ 是角 $\text{[math]}$ 终边上一点，则 $\text{[math]}$ ．

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6. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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7. 若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集是 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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8. 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有极值点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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9. 下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 两点间距离为cm.（精确到1cm）

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10. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是均含有 $\text{[math]}$ 个元素的集合，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中元素个数的最小值是．

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11. 若函数 $\text{[math]}$ 的表达式为 $\text{[math]}$ ，且存在最小值，则a的取值范围为．

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12. 已知等差数列 $\text{[math]}$ ，若存在有穷等比数列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ 的“等比伴随数列”．数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ 的“等比伴随数列”，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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二、选择题

13. 已知 $\text{[math]}$ 是定义在上 $\text{[math]}$ 的函数，那么“函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增”是“函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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14. 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. 若实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 比 $\text{[math]}$ 接近 $\text{[math]}$ .若围棋状态空间复杂度的上限M约为 $\text{[math]}$ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为 $\text{[math]}$ ，则下列各数中最接近 $\text{[math]}$ 的是（）

A . 10³³ B . 10⁵³ C . 10⁷³ D . 10⁹³

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16. 已知平面向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．若对每一个确定的向量 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．现有如下两个命题
命题 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 变化时， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ；
命题 $\text{[math]}$ ：当 $\text{[math]}$ 变化时， $\text{[math]}$ 可以取到最小值0；
则下列选项中，正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 为真命题， $\text{[math]}$ 为假命题 B . $\text{[math]}$ 为假命题， $\text{[math]}$ 为真命题 C . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都为真命题 D . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都为假命题

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三、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ .

（1）函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ，并求此时 $\text{[math]}$ 的解集；

（2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值域.

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18. 某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …….

（1）写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，并求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的递推关系式；

（2）求证：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，并求出数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.

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19. 记代数式 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求使代数式 $\text{[math]}$ 有意义的实数 $\text{[math]}$ 的集合；

（2）若存在实数 $\text{[math]}$ 使得代数式 $\text{[math]}$ 有意义，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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20. 过点 $\text{[math]}$ 作斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 定积直线或 $\text{[math]}$ 定积直线．

（1）已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，试问是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 定积直线？请说明理由．

（2）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 均在第一象限，且点 $\text{[math]}$ 在二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上．若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 定积直线，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 定积直线，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 定积直线，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

（3）已知直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 定积直线，设点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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21. 设函数 $\text{[math]}$ 的定义域为开区间 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图像只有唯一的公共点，则称 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 函数”，切线 $\text{[math]}$ 为一条“ $\text{[math]}$ 切线”．

（1）判断 $\text{[math]}$ 是否是函数 $\text{[math]}$ 的一条“ $\text{[math]}$ 切线”，并说明理由；

（2）设 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 存在无穷多条“ $\text{[math]}$ 切线”；

（3）设 $\text{[math]}$ ，求证：对任意实数 $\text{[math]}$ 和正数 $\text{[math]}$ 都是“ $\text{[math]}$ 函数”

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二、选择题

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