广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷

修改时间：2024-09-23 浏览次数：22 类型：月考试卷编辑

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的真子集个数为（）

A . 7 B . 8 C . 15 D . 16

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2. 若 $\text{[math]}$ ，则复数z的虚部（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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4. 在平面内，设 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 的法向量， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为两个定点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为一动点，若点 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹是（）

A . 圆 B . 抛物线 C . 椭圆 D . 双曲线

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5. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，则线段 $\text{[math]}$ 的长度的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则事件 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系是（）

A . 事件 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互斥 B . 事件 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 对立 C . 事件 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相互独立 D . 事件 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 既互斥又相互独立

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8. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的周期为4 C . $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递减

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $\text{[math]}$ 的最小正周期是 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 是单调递增 B . $\text{[math]}$ 是偶函数 C . $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的对称中心

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10. 已知正方体 $\text{[math]}$ 外接球的体积为 $\text{[math]}$ 是空间中的一点，则下列命题正确的是（）

A . 若点 $\text{[math]}$ 在正方体表面上运动，且 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 轨迹的长度为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的点（不包括点 $\text{[math]}$ ），则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是异面直线 C . 若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则始终有 $\text{[math]}$ D . 若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积为定值

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11. 如图，P是椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 在第一象限的交点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 共焦点的离心率分别为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为2 D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知M是抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若 $\text{[math]}$ ，则线段MF的长为.

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13. 已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是.

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14. 已知点A是函数 $\text{[math]}$ 图象上的动点，点B是函数 $\text{[math]}$ 图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，求 $\text{[math]}$ 的值.

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16. 古希腊数学家托勒密对凸四边形 $\text{[math]}$ 凸四边形是指没有角度大于 $\text{[math]}$ 的四边形 $\text{[math]}$ 进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形 $\text{[math]}$ 中，

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， (图1)，求线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（图2），求四边形 $\text{[math]}$ 面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

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17. 在 $\text{[math]}$ 中，把 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …， $\text{[math]}$ 称为三项式系数.

（1）当 $\text{[math]}$ 时，写出三项式系数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；

（2） $\text{[math]}$ 的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的 $\text{[math]}$ 次系数的数阵表；

（3）求 $\text{[math]}$ 的值（用组合数作答）.

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18. 如图1，平面图形 $\text{[math]}$ 由直角梯形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 拼接而成，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，现沿着 $\text{[math]}$ 将其折成四棱锥 $\text{[math]}$ （如图2）．

（1）当侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

（2）在（1）的条件下，线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ．使得平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，短轴的其中一个端点为 $\text{[math]}$ ，长轴端点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是面积为 $\text{[math]}$ 的等边三角形.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程及离心率；

（2）若双曲线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为焦点，以 $\text{[math]}$ 为顶点，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的一个交点，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（3）如图，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有唯一的公共点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线分别交 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点.当点 $\text{[math]}$ 运动时，求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.

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广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

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