命题新趋势4 整体思想——2024年浙教版数学七（下）期末复习

1. 把（x－y）看作一个整体，下面计算正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 解二元一次方程组 $\text{[math]}$ 时，用代入消元法整体消去4x，得到的方程是（）

A . 2y=-2 B . 2y=-36 C . 12y=-36 D . 12y=-2

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3. 把某个式子看成一个整体，用一个变量取代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x，y的方程组 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ ，则关于x，y的方程组 $\text{[math]}$ 的解是.

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4. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：
已知实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得整式的值，如由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用上面的知识解答下列问题：

（1）已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足方程组 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为， $\text{[math]}$ 的值为；

（2）已知方程组 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ ，则方程组 $\text{[math]}$ 的解是．

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5. 材料：解方程组 $\text{[math]}$
将①整体代入②，得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
把 $\text{[math]}$ 代入①，得 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组 $\text{[math]}$

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6. 先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组： $\text{[math]}$ ，
由①，得 $\text{[math]}$ ． ③
把③代入②，得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
把 $\text{[math]}$ 代入③，得 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 原方程组的解为 $\text{[math]}$ ；
这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： $\text{[math]}$ ．

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7. 利用整体代入法解方程组： $\text{[math]}$ ．

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8. 先阅读材料，后解方程组：
材料：解方程组 $\text{[math]}$ 时，可由①得：x﹣y=1③，然后再将③代入②得4×1﹣y=5，求得y=﹣1，从而进一步求得： $\text{[math]}$ ，这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解下列方程组： $\text{[math]}$

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9. 阅读以下材料：
解方程组： $\text{[math]}$ ，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：

解：由①得x+y＝1③，将③代入②得：

（1）请你替小阳补全完整的解题过程；

（2）请你用这种方法解方程组： $\text{[math]}$ .

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10. 你知道数学中的整体思想吗?解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体加减，能使问题迅速获解.
例题：已知x²+xy=4，xy+y²=-1.求代数式x²-y²的值.

解：将两式相减，得(x²+xy)-(xy+y²)=4-(-1)，即x²-y²=5；请用整体思想解答下列问题：

（1）在例题的基础上求(x+y)²的值；

（2）若关于x、y的二元一次方程组 $\text{[math]}$ 的解也是二元一次方程x+y=6的解，求k的值.

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11. 阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x、y满足 $\text{[math]}$ ①， $\text{[math]}$ ②，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.

解决问题：

（1）已知二元一次方程组 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需元.

（3）对于实数x、y，定义新运算： $\text{[math]}$ ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ .

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12. 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：
若关于x、y的方程组 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ ，求关于x，y的方程组 $\text{[math]}$ 的解.

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13. 在解方程组 $\text{[math]}$ 时，明明采用了一种“整体代换”的解法.
解：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5.③
把①代入③，得2×3+y=5，解得y=-1.
把y=-1代入①，得x=4，
∴方程组的解决为 $\text{[math]}$
请用“整体代换”法解下列方程组：

（1） $\text{[math]}$ 。

（2） $\text{[math]}$

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14. 阅读材料：
整体代换是一个重要的数学思想，有着广泛的应用.例如：计算4(a+b)-7(a+b)+(a+b)时可将(a+b)看成一个整体，合并同类项得-2(a+b)，再利用分配律去括号得-2a-2b.同时，我们也知道，代数的基本要义就是用字母表示数，使之更具一般性.所以，在计算a(a+b)时，同样可以利用分配律得 $\text{[math]}$
解决问题：

（1）请你尝试着把(a-2)或(b-2)看成整体，计算：(a-2)(b-2).

（2）如果两个数的乘积等于它们的和的两倍，那么我们称这两个数为“积倍和数对”，即：若ab=2(a+b)，则a，b是一对“积倍和数对”，记为(a，b).例如：∵3×6=2(3+6)，∴3和6是一对“积倍和数对”，记为(3，6).
请你找出所有的a，b均为整数的“积倍和数对”

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15. 善于思考的小明在解方程组 $\text{[math]}$ 时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程8x+22y=10变形为2（4x+10y）+2y=10.③
把方程①代入③，得2×6+2y=10，解得 y=-1.
把y=-1代入①，得x=4，
∴原方程组的解为 $\text{[math]}$
请你运用“整体代换”的思想解决下列问题：

（1）解方程组 $\text{[math]}$

（2）已知x，y，z满足 $\text{[math]}$ 试求 z 的值.

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16. 阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x ， y满足 $\text{[math]}$ ①， $\text{[math]}$ ②，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x ， y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得 $\text{[math]}$ ，由①+②×2可得 $\text{[math]}$ ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：

（1）已知二元一次方程组 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）对于实数x ， y ，定义新运算： $\text{[math]}$ ，其中a ， b ， c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么求 $\text{[math]}$ 的值．

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17. 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组： $\text{[math]}$ ．
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的 $\text{[math]}$ 看成一个整体，把 $\text{[math]}$ 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．

（1）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则原方程组可化为，解关于m ， n的方程组，得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，解方程组，得．

（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组： $\text{[math]}$ ．

（3）拓展延伸：已知关于x ， y的二元一次方程组 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，求关于x ， y的方程组 $\text{[math]}$ 的解．

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18. 阅读材料：
已知x²y=3，求2xy(x⁵y²-3x³y-4x)的值．
分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x²y=3整体代入．
解：2xy(x⁵y²-3x³y-4x)
=2x⁶y³-6x⁴y²-8x²y
=2(x²y)³-6(x²y)²-8x²y
=2×3³-6×3²-8×3
=54-54-24
=-24
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！

（1）已知ab=3，求(2a³b²-3a²b+4a)·(-2b)的值．

（2）已知a²+a-1=0，求代数式a³+2a²+2021的值．

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19. 先阅读材料，再回答问题：
分解因式： $\text{[math]}$
解：设 $\text{[math]}$ ，则原式 $\text{[math]}$
再将 $\text{[math]}$ 还原，得到：原式 $\text{[math]}$
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：

（1）分解因式： $\text{[math]}$

（2）若 $\text{[math]}$ 为正整数，则 $\text{[math]}$ 为整数的平方，试说明理由.

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20. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组 $\text{[math]}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5，③
把方程①代人③得：2x3+y=5，∴y=-1．
把y=-1代人①得x=4，∴方程组的解为 $\text{[math]}$
请你解决以下问题：

（1）模仿小军的“整体代换"法解方程组 $\text{[math]}$

（2）已知x，y满足方程组 $\text{[math]}$
①求x²+4y²的值．
②求 $\text{[math]}$ 的值．

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命题新趋势4 整体思想——2024年浙教版数学七（下）期末复习

一、选择题

二、填空题

三、计算题

四、综合题

五、实践探究题

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一、选择题

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