（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 24.3 正多边形和圆同步分层训练（培优卷）

1. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S_正方形_PQRS：S_正方形_ABCD等于( )．

A . 1 ：2 B . 1：3 C . 2：3 D . 2：5

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2. 老师在微信群发了这样一个图：以线段 $\text{[math]}$ 为边作正五边形 $\text{[math]}$ 和正三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，下列四位同学的说法不正确的是（）

甲 $\text{[math]}$
乙 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的垂直平分线
丙 $\text{[math]}$ 是等腰三角形
丁 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行

A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁

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3. 如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点 $\text{[math]}$ 同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第 $\text{[math]}$ 次相遇地点的坐标为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，其中分别以 $\text{[math]}$ 为直径在正方形内部做半圆，正方形的对角线交于O点，点E是以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆上的一个动点，则下列结论错误的是（）

A . 若正方形的边长为10，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . 连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则正方形的边长为 $\text{[math]}$ D . 若M，N分别为 $\text{[math]}$ 的中点，存在点E，使得 $\text{[math]}$

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5. 如图， $\text{[math]}$ 半径为 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上运动，连接 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为F，连接 $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ 长的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，∠DAB的平分线与CD交于点E，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF，DF．有下列结论：①DE＝BC；②DF＝BF；③∠CDF＝∠CBF；④B，C，D，F四点在同一个圆上．其中正确结论的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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7. 已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且 $\text{[math]}$ ．在点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 移向 $\text{[math]}$ （与 $\text{[math]}$ 不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（）

A . 矩形MNPQ的面积与周长保持不变 B . 矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大 C . 矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大 D . 矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小

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8. 如图，正六边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的点，记图中各三角形的面积依次为 $\text{[math]}$ ，则下列判断正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，连接EM交AD于N点，若 $\text{[math]}$ ，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）标有四段中的（）

A . 段① B . 段② C . 段③ D . 段④

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10. 我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，已知点M在正六边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上运动，如果 $\text{[math]}$ ，那么线段 $\text{[math]}$ 的长度的取值范围是．

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12. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 含 $\text{[math]}$ 角的 $\text{[math]}$ 三个顶点分在 $\text{[math]}$ 的三边上，且直角顶点D在斜边 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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13. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤OC平分∠AOE．一定成立的结论有．

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14. 如图，在⊙O中，∠CBO=55°，CAO=15°，则∠AOB的度数是.

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15. 如图，边长为6的正方形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 上的一动点（不与A ， B重合，点F是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，分别与 $\text{[math]}$ 交于点G ， H ，且 $\text{[math]}$ ，有以下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 周长的最小值为 $\text{[math]}$ ；③随着点E位置的变化，四边形 $\text{[math]}$ 的面积始终为9.其中正确的是.（填序号）

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16. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，P是ED的中点，连结AP．求AP的长．

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17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE=3，DE= $\text{[math]}$ ，求∠ABC的度数．

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18. 如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 $\text{[math]}$ 上（不与C点重合）．

（1）求∠BPC的度数；

（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．

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19. 如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P．若∠P=30°，∠ABC=100°，求∠C的度数．

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20. 如图，在等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一点，过点 $\text{[math]}$ 做 $\text{[math]}$ 的平行线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点（点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合）．将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．

（1）证明：在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，总有 $\text{[math]}$ ．

（2）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 是直角三角形？

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21. 如图所示，四边形 $\text{[math]}$ 是半径为R的 $\text{[math]}$ 的内接四边形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ，直线l与三条线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线分别交于点E、F、G．且满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：直线 $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ；
①求证： $\text{[math]}$ ；
②若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的周长．

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22. 已知，如图，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切，切点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是劣弧 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

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23. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理：如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦，点P在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点C，点D在弦 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点Q， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

（1）如图2，小亮尝试说明 $\text{[math]}$ ，于是他连接了 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请你帮助他完成下列证明.
①求证： $\text{[math]}$ ；
②求证： $\text{[math]}$ .

（2）如图3，将材料中的“弦 $\text{[math]}$ ”改为“直径 $\text{[math]}$ ”，作直线l与 $\text{[math]}$ 相切于点Q.过点P作 $\text{[math]}$ 直线l于点G，其余条件不变，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径 $\text{[math]}$ 的长

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（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 24.3 正多边形和圆同步分层训练（培优卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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