（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 24.1 圆的有关性质同步分层训练（培优卷）

1. 如图，AB＝4，以O为圆心，AB为直径作半圆，点C是半圆一动点，若BC＝2BD，∠CBD＝60°，则线段AD的最大值为（　　）

A . 2 $\text{[math]}$ +2 B . $\text{[math]}$ +1 C . 3 $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$ +1

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2. 如图，已知点 $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ 的延长线与弦 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．则下列命题为假命题的是（）

A . 若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若半径 $\text{[math]}$ 平分弦 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形

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3. 如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝ $\text{[math]}$ AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）²+b²＝2[（a+b）²+a²]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（）

A . 5 $\text{[math]}$ B . 18 C . 3 $\text{[math]}$ D . 17

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4. 如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，∠DAB的平分线与CD交于点E，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF，DF．有下列结论：①DE＝BC；②DF＝BF；③∠CDF＝∠CBF；④B，C，D，F四点在同一个圆上．其中正确结论的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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5. 如图，在给定的锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，当点D从点B运动到点C的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是（　　）

A . 一直不变 B . 一直减少 C . 先减小后增大 D . 先增大后减小

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6. 如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD²+AC²＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（）

A . ①②③ B . ②③④ C . ③④ D . ②④

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7. 如图，AB是半圆O的直径，点C、E是半圆上的动点（不与点A、B重合），且 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，射线AE，BC交于点F，M为AF中点，G为CM上一点，作∠GON＝ $\text{[math]}$ ，交BC于点N，则点C在从点A往点B运动的过程中，四边形CGON的面积（）

A . 先变大后变小 B . 先变小后变大 C . 保持不变 D . 一直减小

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8. 如图，E为正方形ABCD的边CD上一动点，AB=2，连接BE，过A作AF⊥BE，交BC于F，交BE于G，连接CG，当CG为最小值时，CF的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD $\text{[math]}$ OC，若CO＝ $\text{[math]}$ ，AC＝2，则AD＝（　　）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图，点C是以AB为直径的圆上一个动点（不与点A、B重合），且AC+BC=12.若AB=m（m为整数），则整数m的值的个数为（）

A . 0个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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11. 如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠AOC=50°．过点A作AE∥CD，交⊙O于点E，则 $\text{[math]}$ 的度数为

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12. 如图所示，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是线段BC上的一个动点，以AD为直径画 $\text{[math]}$ 分别交AB，AC于E，F，连结EF，则EF的最小值为.

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13. 如图，等腰 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 上一点，满足 $\text{[math]}$ . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积是.

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14. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，过三点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G.在点F整个运动过程中，当 $\text{[math]}$ 中满足某两条线段相等时， $\text{[math]}$ 的长为.

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15. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， $\text{[math]}$ ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE=60°；②∠CED= $\text{[math]}$ ∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，其中正确的序号是．

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16. 如图，在半径为5的扇形OAB中，∠AOB=90°，C是 $\text{[math]}$ 上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．

（1）当BC=6时，求线段OD的长．

（2）求DE的长．

（3）在△ODE中，是否存在度数不变的角？若存在，请直接指出是哪个角，并求出它的度数．

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17. 如图，A 是⊙O上的一个六等分点，B是 $\text{[math]}$ 的中点，P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1．

（1）找出当AP+BP取最小值时，点P的位置．

（2）求AP+BP的最小值．

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18. 研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半.如图甲所示，已知四边形ABCD内接于 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ，且AC⊥BD.

（1）求证：AB=CD.

（2）若 $\text{[math]}$ 的半径为8， $\text{[math]}$ 的度数为120°，求四边形ABCD的面积.

（3）如图乙所示，作OM⊥BC于点M，请猜测OM与AD的数量关系并证明.

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19. 如图所示，在 $\text{[math]}$ 中，直径 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ ，直线AD，BC相交于点 $\text{[math]}$ .

（1）如图甲所示， $\text{[math]}$ 的度数为.

（2）如图乙所示，AB与CD交于点 $\text{[math]}$ ，请补全图形并求 $\text{[math]}$ 的度数.

（3）如图丙所示，直径AB与弦CD不相交，求 $\text{[math]}$ 的度数.

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20. 已知， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 直径，弦 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点．

（1）如图1，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；

（2）如图2，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ；求证： $\text{[math]}$ ；

（3）如图 $\text{[math]}$ ，在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 半径．

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21. 已知钝角三角形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .

（1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 在同一条直线上时，求证： $\text{[math]}$ .

（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 不在同一条直线上时，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时.
①求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形；
②如图3，连 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

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22. 已知 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）如图①，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间满足的等量关系式：；

（2）如图②，当 $\text{[math]}$ 时，试探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间满足的等量关系，并证明你的结论.

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23. 数学活动课上，老师给出这样一个题目：如图1，点C是弧 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ 于D， $\text{[math]}$ 于E，若 $\text{[math]}$ ，求证：点C是弧 $\text{[math]}$ 的中点.
小波同学想到的办法是：可通过证明 $\text{[math]}$ 来完成它.

（1）请你们帮助小波完成证明过程：

（2）解答完老师给出的问题后，小波把老师的题进行了改变.
如图2，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点D，点E分别是半径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，若 $\text{[math]}$ 于D，且点C是弧 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ ，请你证明.

（3）拓展：如图3，在（2）的条件下，点G是弧 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径长.

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（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 24.1 圆的有关性质同步分层训练（培优卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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二、填空题

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