（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题同步分层训练（提升卷）

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，分别以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧分别交于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上任意一点．则 $\text{[math]}$ 长度的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）．

A . B . C . D .

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3. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是腰 $\text{[math]}$ 上的一个动点，要使 $\text{[math]}$ 最小，则点 $\text{[math]}$ 应该满足（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点P是射线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点M ，点N是射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度不可能是（　　）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 4

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5. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形，D，E分别是 $\text{[math]}$ 边的中点，连接 $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 2 B . 4 C . 8 D . 16

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6. 如图，河道l的同侧有M ， N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M ， N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（）

A . B . C . D .

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7. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，P为 $\text{[math]}$ 上一动点，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，点P的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高，点E是 $\text{[math]}$ 边的中点，点P是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 最小时， $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 6

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10. 如图，在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ， AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是 $\text{[math]}$ 的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（）

A . 2.4 B . 4 C . 4.8 D . 5

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11. 如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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12. 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中，D ， E分别为边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且P为 $\text{[math]}$ 上的动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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13. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，用 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是．

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15. 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. 如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上．点E为直线CD上的动点，连接BE ，作AF⊥BE于F ．点P为BC边上的动点，连接DP和PF ．

（Ⅰ）当点E为CD边的中点时，求△ABF的面积为；

（Ⅱ）当DP＋PF最短时，请在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P ，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．

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17. 如图，一个牧童在小河的南2km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西 $\text{[math]}$ km北3km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

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18. 如图，在锐角三角形ABC中，BC=4 $\text{[math]}$ ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．

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19. 将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远．

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20. 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 在坐标系中A（1，1），B（4，2），C（3，4）.
⑴在图中画出 $\text{[math]}$ 关于x轴的对称图形 $\text{[math]}$ ，并分别写出对应点A₁、B₁_、C₁的坐标.
⑵求 $\text{[math]}$ .
⑶在y轴上是否存在一点p，使得AP+CP最小，若存在，请在图中描出点P，若不存在请说明理由.

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21. 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 在y轴正半轴上，点 $\text{[math]}$ 在x轴正半轴上， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ .

（1）求AB；

（2）在y轴上是否存在一点P，使得 $\text{[math]}$ 最小？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值；

（3）在x轴上是否存在一点M，使 $\text{[math]}$ 是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标.

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22. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中的三个顶点都落在小正方形的顶点处.

（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁；

（2）点A₁的坐标为；

（3）在x轴上找一个点P，使PB+PC最小（不写作法，保留作图痕迹）.

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23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知 $\text{[math]}$ 的三个顶点坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于y轴对称，画出 $\text{[math]}$ ；

（2）若在直线l上存在点P，使 $\text{[math]}$ 的周长最小，则点P的坐标为．

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（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题同步分层训练（提升卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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