（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题同步分层训练（基础卷）

1. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，点P为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 3 B . 5 C . 6 D . 7

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2. 如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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3. 数学课上，老师提出如下问题：
如图1，点P、Q是直线l同侧的两点，请你在直线l上确定一个点R.使 $\text{[math]}$ 的周长最小.小明的作法如下，如图2：

（ 1 ）作点Q关于直线l的对称点 $\text{[math]}$ ；

（ 2 ）连接 $\text{[math]}$ ，交直线l于点R；

（ 3 ）连接RQ、PQ.

那么点R就是使 $\text{[math]}$ 的周长最小的点.

老师说，小明的做法正确.接着.老师问同学们，小明这种作法应用了哪些我们学过的定理呢？有四位同学分别说了一个定理，下面的A，B，C，D四个答案分别代表了四个同学所说的定理，其中小明没有应用到的定理是（）

A . 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线 B . 等腰三角形底边上的高也是顶角的角平分线 C . 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 D . 两点之间，线段最短

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4. 如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（）

A . B . C . D .

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5. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，分别以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧分别交于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上任意一点．则 $\text{[math]}$ 长度的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是腰 $\text{[math]}$ 上的一个动点，要使 $\text{[math]}$ 最小，则点 $\text{[math]}$ 应该满足（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点P是射线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点M ，点N是射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度不可能是（　　）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 4

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8. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形，D，E分别是 $\text{[math]}$ 边的中点，连接 $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 2 B . 4 C . 8 D . 16

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9. 如图，河道l的同侧有M ， N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M ， N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（）

A . B . C . D .

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10. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高，点E是 $\text{[math]}$ 边的中点，点P是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 最小时， $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，当 $\text{[math]}$ 最小时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为．

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12. 如图，已知△ABC为等边三角形，高AH＝8cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为cm．

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13. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AB⊥AC，MN垂直平分BC，点P为直线MN上一动点，则AP+BP的最小值是.

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14. 如图，一束光线从y轴上的点A（0，1）出发，经过x轴上的点C反射后经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线长度为．

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15. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，点P为直线 $\text{[math]}$ 上的任一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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16. 如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=200m，BD=100m，CD=400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，A(﹣3，2)，B(﹣4，﹣3)，C(﹣1，﹣1)．
⑴在图中作出 $\text{[math]}$ 关于y轴对称的 $\text{[math]}$ ；
⑵写出点 $\text{[math]}$ 的坐标（直接写答案）；
⑶在y轴上画出点P，使PB+PC最小．

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18. 某高速公路的同一侧有A，B两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线 $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，要在高速公路上E、F之间建一个出口Q，使A、B两城镇到Q的距离之和最短，在图中画出点Q所在位置，并求出这个最短距离．

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19. 已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P ，在OB边上求作一点Q ，使得△PMQ的周长最小．

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20. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中， $\text{[math]}$ ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．

（ 1 ）在图中画出与 $\text{[math]}$ ABC关于直线y成轴对称的 $\text{[math]}$ A₁B₁C₁；

（ 2 ）求 $\text{[math]}$ ABC的面积；

（ 3 ）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）

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21. 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的顶点都在网格格点上，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ．

（1）作出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的 $\text{[math]}$ ，并写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）在 $\text{[math]}$ 轴上找一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 最短，并写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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22. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂直平分线与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别相交于点E，D，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长为14．
①求 $\text{[math]}$ 的长；
②在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ 的值最小？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

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23. 如图，在平面直角坐标系中 $\text{[math]}$ 各顶点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）若点P是x轴上的一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

（2）在图中作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于y轴对称；

（3）请分别写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标．

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（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题同步分层训练（基础卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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