（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 13.3 等腰三角形同步分层训练（培优卷）

1. 如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，G为EF的中点，若PE=3，PF=6，则S_△PED：S_△PDG=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，AD是 $\text{[math]}$ 的角平分线，DE⊥AC，垂足为E， $\text{[math]}$ 交ED的延长线于点F，若DE＝DF，AE＝2BF．下列四个结论：①BC平分∠ABF；② $\text{[math]}$ ；③AD⊥BC；④AB＝3BF．其中正确的结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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3. 如图，点P为定角 $\text{[math]}$ 平分线上的一个定点，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互补．若 $\text{[math]}$ 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的值不变 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的长不变 D . 四边形 $\text{[math]}$ 的面积不变

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4. 如图，已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则下列结论：① $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 是等边三角形，其中正确的个数是（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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5. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于点D，交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 边的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的度数（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的高BD、CE交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则AC的长为（）

A . 18 B . 20 C . 22 D . 24

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7. 已知点 $\text{[math]}$ 在第一象限，若在 $\text{[math]}$ 轴上确定点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，则点 $\text{[math]}$ 的坐标有（）种可能

A . 3 B . 4 C . 1或3 D . 2或4

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8. 如图，⊙O的半径为r，交×轴正半轴于点A，直线l垂直平分OA交⊙O于点P，PB⊥y轴于点B．今假设在点O，A处，分别有一质量为m₁ ， m₂的天体(m₁>m₂)；天体物理中把与O，A处于同一平面，坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的点称为[O，A]系统的拉格朗日4号点，记为L₄ (若把卫星发射到L₄的位置，则卫星会处于相对静止的稳状态)．以下说法中错误的是（）

A . △AOP是等边三角形 B . L₄在线段BP上 C . ∠OL₄A>60° D . 若m₁恒定，则m₂越小，L₄离点P越近

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9. 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上， $\text{[math]}$ 在第一象限，且△ $\text{[math]}$ 是等边三角形.在射线 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边作等边三角形△ $\text{[math]}$ ， △ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，该直线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的横坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 256 D . $\text{[math]}$

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10. 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于 $\text{[math]}$ ，则下列结论：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．

其中正确结论的序号有（）

A . ①②③④ B . ②③④ C . ①②③ D . ①②④

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11. 在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为．

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12. 如图，C是线段AB上的一点， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，AE交CD于M ， BD交CE于N ，交AE于 $\text{[math]}$ ，则① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ 是等边三角形．其中，正确的有．

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13. 如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝度.

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14. 如图，已知Rt△ABC ， AB＝AC ，将边AB绕着点A旋转，当点B落在边AB的垂直平分线上的点E时，∠AEC＝.

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15. 在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A ， C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为．

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16. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

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17. 平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等腰三角形且面积为 $\text{[math]}$ ，求满足条件的 $\text{[math]}$ 点坐标．

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18. 小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长 $\text{[math]}$ 米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．

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19. 如图所示，AB∥CD，EF= EH，EH平分∠AEG，且∠EHF=15° ，求∠CFH的度数．

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20. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形．

（1）找出与 $\text{[math]}$ 全等的三角形（不需要说明理由）；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

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21. 在等边三角形 $\text{[math]}$ 中，D为射线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，点B关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为E，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，点D在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 的交于点F，过点D作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H．
①如图2，点D在线段 $\text{[math]}$ 上，求证： $\text{[math]}$ ；
②点D在线段 $\text{[math]}$ 延长线上，用等式表示线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

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22. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交CA的延长线于点D，BE平分 $\text{[math]}$ 交CD于点E，点F在BD延长线上， $\text{[math]}$ ，连接FE并延长交BC于点H．

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）如图，延长BA到点G，使 $\text{[math]}$ ，连接EG．判断BH和EH的位置关系，并说明理由．

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23. 已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形．

（1）如图1，点D是 $\text{[math]}$ 边的中点，点P为射线AC上一动点，当 $\text{[math]}$ 是轴对称图形时， $\text{[math]}$ 的度数为；

（2）如图2， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 边上，点F在射线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于G，当点D在 $\text{[math]}$ 边上移动时，请同学们探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间有什么数量关系，并对结论加以证明；

（3）如图3，点R在 $\text{[math]}$ 延长线上，连接 $\text{[math]}$ ， S为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于T，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的值为．

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（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 13.3 等腰三角形同步分层训练（培优卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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