2023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 比例线段同步分层训练培优卷(冀教版)

1. 已知P是线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点，且 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度 $\text{[math]}$ 与从轮子底部到拉杆顶部的高度 $\text{[math]}$ 之比是黄金比（约等于 $\text{[math]}$ ）．已知 $\text{[math]}$ cm，则AB约是（）

A . 30cm B . 49cm C . 55cm D . 129cm

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3. 如果 $\text{[math]}$ ，那么下列比例式中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 若 $\text{[math]}$ ，则下列式子不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知线段a、b，求作线段x，使 $\text{[math]}$ ，正确的作法是（）

A . B . C . D .

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6. 已知非负数 x，y，z 满足. $\text{[math]}$ .，设 $\text{[math]}$ ，则 W 的最大值与最小值的和为（）

A . -2 B . -4 C . -6 D . -8

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7. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 $\text{[math]}$ 分为两线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得其中较长的一段 $\text{[math]}$ 是全长 $\text{[math]}$ 与较短的段 $\text{[math]}$ 的比例中项，即满足 $\text{[math]}$ ，后人把 $\text{[math]}$ 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 $\text{[math]}$ 的“黄金分割”点．如图，在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若D ， E是边 $\text{[math]}$ 的两个“黄金分割”点，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 673 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 674

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9. 如图，用大小相同的小正方形拼图，第 $\text{[math]}$ 个图是一个小正方形；第 $\text{[math]}$ 个图由 $\text{[math]}$ 个小正方形拼成；第 $\text{[math]}$ 个图由 $\text{[math]}$ 个小正方形拼成，依此规律，若第 $\text{[math]}$ 个图比第 $\text{[math]}$ 个图多用了 $\text{[math]}$ 个小正方形，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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10. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即 $\text{[math]}$ ），可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的雕像，则该雕像的下部高度 $\text{[math]}$ 应设计为 m．（结果保留根号）

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11. 生活中到处可见黄金分割的美.向日葵就是一个很好的例子，如果仔细观察向日葵中心，就会发现似乎有条螺旋形的曲线，如果对此进行计算，结果会得到黄金分割数列，如图是一株向日葵的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割（黄金分割比≈0.618）.已知AC＝2，且AC＞BC，则BC的长约 .

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12. 同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若 $\text{[math]}$ ＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若 $\text{[math]}$ ＝k₂ ，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若 $\text{[math]}$ ＝k₃ ，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k₆＝．

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13. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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14. 已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a-2b+c=9，求△ABC的周长．

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15. 阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 $\text{[math]}$ 互不相等)，求 $\text{[math]}$ 的值.

解：设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

依照上述方法解答下列问题：

已知 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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16. 定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 $\text{[math]}$ =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， $\text{[math]}$ 叫做黄金分割数.

（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 $\text{[math]}$ ；

（2）应用：如图2，抛物线y＝x²+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA<OB），若原点O是线段AB的黄金分割点，①求线段AB的长；②直接写出点A和点B的坐标.

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17. 如图1所示，点C把线段 $\text{[math]}$ 分成 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称线段 $\text{[math]}$ 被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比叫做黄金比．

（1）根据上述定义求黄金比；

（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，得线段 $\text{[math]}$ 的中点M；②过点B作 $\text{[math]}$ 垂线l；③以点B为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径作圆交l于N；④连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，以N为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径作圆交 $\text{[math]}$ 于P；⑤以点A为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径作圆交 $\text{[math]}$ 于C ．

（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点．

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2023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 比例线段同步分层训练培优卷(冀教版)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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