修改时间:2023-07-31 浏览次数:99 类型:同步测试
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像(抛物线)与x轴交点的横坐标.抛物线与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应,一元二次方程的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况.
下面根据抛物线的顶点坐标( , )和一元二次方程根的判别式△=b2-4ac,分a>0和a<0两种情况进行分析:
当a>0时,抛物线开口向上.
①当△=b2-4ac>0时,有4ac-b2<0.
∵a>0,∴顶点纵坐标<0,
∴顶点在x轴的下方,抛物线与x轴有两个交点(如图①),
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.
②当△=b2-4ac=0时,有4ac-b2=0.
∵a>0,∴顶点纵坐标=0,
∴顶点在x轴上,抛物线与x轴有一个交点(如图②),
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,
③当△=b2-4ac<0……
当a<0时,抛物线开口向下.
……
任务:
A.数形结合
B.统计思想
C.分类讨论
D.转化思想
我们通过下列步骤估计方程2x2+x﹣2=0的根的所在的范围.
第一步:画出函数y=2x2+x﹣2的图象,发现图象是一条连续不断的曲线,且与x轴的一个交点的横坐标在0,1之间.
第二步:因为当x=0时,y=﹣2<0;当x=1时,y=1>0.
所以可确定方程2x2+x﹣2=0的一个根x1所在的范围是0<x1<1.
第三步:通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围;
取x= ,因为当x= 时,y<0,
又因为当x=1时,y>0,
所以 <x1<1.
试题篮