（人教版）2023-2024学年九年级数学上册21.2 解一元二次方程同步分层训练（培优卷）

1. 对于一元二次方程 $\text{[math]}$ 下列说法：①当 $\text{[math]}$ 时，则方程 $\text{[math]}$ 一定有一根为 $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ 则方程 $\text{[math]}$ 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则一定有 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根．其中正确的是（）

A . ①② B . ①③ C . ①②④ D . ②③④

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2. 对于两个不相等的实数 $\text{[math]}$ ，我们规定符号 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 中较大的数，如 $\text{[math]}$ ，按这个规定，方程 $\text{[math]}$ 的解为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或-1

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3. 已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的根，则m等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 有两个一元二次方程M：ax²＋bx＋c=0，N：cx²＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论：① 如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等实数根；② 如果M与N有实数根，则M有一个根与N的一个根互为倒数；③ 如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根必是1；④ 如果M的两根符号相同，那么N的两根符号也相同；其中正确的是（）

A . ①②③ B . ①②④ C . ②③④ D . ①③④

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5. 关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 $\text{[math]}$ 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．其中正确结论的个数是（）

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个

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6. 已知α，β是方程x²+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α²）（1+2016β+β²）的值为（　　）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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7. 如果关于x的一元二次方程x²﹣4|a|x+4a²﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（　　）

A . 1 B . 5 C . 7 D . 3或7

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8. 若α、β是方程x²+2x﹣2007=0的两个实数根，则α²+3α+β的值（　　）

A . 2007 B . 2005 C . ﹣2007 D . 4010

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9. 用配方法解一元二次方程 $\text{[math]}$ 时，将它化为 $\text{[math]}$ 的形式，则a+b的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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10. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数，点 $\text{[math]}$ 在第四象限，则关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根的情况为（）

A . 有两个相等的实数根 B . 有两个不相等的实数根 C . 没有实数根 D . 无法判定

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11. 如图，△ABC中，CD是AB边上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB= $\text{[math]}$ ，点P为CD上一动点，当BP+ $\text{[math]}$ CP最小时，DP=．

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12. 定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将△ABC沿∠ABC的平分线 $\text{[math]}$ 的方向平移，得到△ $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 是等邻边四边形，则平移距离 $\text{[math]}$ 的长度是.

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13. 若关于x一元二次方程 $\text{[math]}$ 的常数项为0，则m的值等于．

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14. 已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长．

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15. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两根，则代数式 $\text{[math]}$ 的值为．

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16. 已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²－（2k＋3）x＋k²＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

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17. 阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程： $\text{[math]}$ ．

解：分两种情况：

（ 1 ）当 $\text{[math]}$ 时，原方程可化为： $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍去）；

（ 2 ）当 $\text{[math]}$ 时，原方程可化为： $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍去）．

综上所述：原方程的解是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．任务：请参照上述方法解方程： $\text{[math]}$ ．

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18. 已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²-mx+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；

（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少?

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19. 黄岩某校搬迁后，需要增加教师和学生的寝室数量，寝室有三类，分别为单人间（供一个人住宿），双人间（供两个人住宿），四人间（供四个人住宿）．因实际需要，单人间的数量在20至30之间（包括20和30），且四人间的数量是双人间的5倍．

（1）若2018年学校寝室数为64个，以后逐年增加，预计2020年寝室数达到121个，求2018至2020年寝室数量的年平均增长率；

（2）若三类不同的寝室的总数为121个，则最多可供多少师生住宿？

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20. 为了响应国家“自主创业”的号召，某大学毕业生开办了一个装饰品商店，采购了一种今年刚上市的饰品进行了30天的试销，购进价格为20元/件，销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的关系如图（1）所示，销售价格Q（元/件）与销售时间x（天）之间的关系如图（2）所示．

（1）根据图象直接写出：日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的函数关系式为；销售单价Q（元/件）与销售时间x（天）的函数关系式为．（不要求写出自变量的取值范围）

（2）写出该商品的日销售利润W（元）和销售时间x（天）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）

（3）请问在30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．

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21. 已知关于x的一元二次方程(a+b)x²+2cx+(b-a)=0，其中a、b、c分别为 $\text{[math]}$ 三边的长.

（1）如果 $\text{[math]}$ 是方程的根，试判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由.

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由.

（3）如果 $\text{[math]}$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

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22. 矩形ABCD中，M、N为边AD上两点，连接BM、CN，MN=BM=CN，∠BMD=120°。

（1）如图1，求证：AM=DN；

（2）如图2，点E、F分别在NC、BC上，∠FME=60°，求证：EF"= BF+NE；

（3）如图3，在(2)的条件下，过E作EP∥BC交MF于P，2MN=3BF，EP=7，求CE的长。

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23. 阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x₁ ， x₂则x₁+x₂＝﹣ $\text{[math]}$ ，x₁x₂＝ $\text{[math]}$ .

材料2 已知实数m，n满足m²﹣m﹣1＝0，n²﹣n﹣1＝0，且m≠n，求 $\text{[math]}$ 的值.

解：由题知m，n是方程x²﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以 $\text{[math]}$ ＝﹣3.

根据上述材料解决以下问题：

（1）材料理解：一元二次方程5x²+10x﹣1＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁+x₂＝，x₁x₂＝.

（2）类比探究：已知实数m，n满足7m²﹣7m﹣1＝0，7n²﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m²n+mn²的值：

（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s²+99s+1＝0，t²+99t+19＝0，且st≠1.求 $\text{[math]}$ 的值.

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（人教版）2023-2024学年九年级数学上册21.2 解一元二次方程同步分层训练（培优卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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二、填空题

三、解答题

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