（人教版）2023-2024学年八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步分层训练（培优卷）

1. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF $\text{[math]}$ BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90° $\text{[math]}$ ∠A，②∠EBO $\text{[math]}$ ∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S_△AEF $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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2. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 延长线上的点， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线交于点 $\text{[math]}$ 下列结论： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 为定值 $\text{[math]}$ 其中结论正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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3. 如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（）

A . 90°﹣ $\text{[math]}$ α B . 90°+α C . 90°﹣α D . 90°+ $\text{[math]}$ α

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4. 如图，点E是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .其中正确的是（）

A . ①②④ B . ①②③④ C . ②③④ D . ①③

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5. 如图， $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点P， $\text{[math]}$ 于E， $\text{[math]}$ 于F，下列结论：（1） $\text{[math]}$ ；（2）点P在 $\text{[math]}$ 的平分线上；（3） $\text{[math]}$ ；（4）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，其中正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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6. 如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（）

①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S_△PAC=S_△MAP+S_△NCP.

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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7. 如图 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ 于E，点F，G分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积分别是10和3，则 $\text{[math]}$ 的面积是（）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

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8. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+ $\text{[math]}$ ∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB； ③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S_△ABC＝ab.其中正确的是（）

A . ①② B . ②③ C . ①②③ D . ①③

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9. 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM.则下列结论中：①AC＝BD；②∠AMB＝30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC.
正确的个数有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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10. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（）

A . ①②③ B . ①②④ C . ①③④ D . ②③④

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11. 如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB ， OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α ，直线AC ， BD交于点M ，连接OM ．以下结论：①AC＝BD；②∠OAM＝∠OBM；③∠AMB＝α；④OM平分∠BOC ．其中正确的是．（填序号）

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12. 如图， $\text{[math]}$ ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是.
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S_△PAC＝S_△MAP＋S_△NCP.

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13. 如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝．

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14. 如图，R△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP=2，S_△BFP=15，则AB的长度为。

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15. 在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC ， ∠CDE＝55°．如图，则∠EAB的度数为

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16. 如图，四边形ABCD中AD=AB，∠DAB+∠BCD=180°，求证：CA平分∠DCB

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17. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的值．

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18. 如图（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°

（1）求证：AD∥CE

（2）如图（b），AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延长线于F，判断∠ABC与∠F的数量关系，并证明；

（3）如图（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延长线于M，① $\text{[math]}$ 的值不变，② $\text{[math]}$ 的值不变；其中只有一个结论正确，请择一证明．

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19. 已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β．

（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数.

（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．

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20. 综合与实践：
问题情境：已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，P是射线 $\text{[math]}$ 上的一点，点C，D分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）初步探究：如图1，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

（2）深入探究：如图2，点C，D分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上运动，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；

（3）拓展应用：如图3，如果点C在射线 $\text{[math]}$ 上运动，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，点D落在了射线 $\text{[math]}$ 的反向延长线上，若点P到 $\text{[math]}$ 的距离为3， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长（直接写出答案）．

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21. 【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．

（1）【问题解决】
如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；

（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；

（3）【延伸推广】
在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）

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22. 如图1，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 点的坐标；

（2）判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；

（3）如图2，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

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23. 如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.

（1）求证：AE＝CD；

（2）求证：AE⊥CD；

（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正确的一个是　　（请写序号），并给出证明过程.

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（人教版）2023-2024学年八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步分层训练（培优卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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