（鲁教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学3.3二次函数y=ax2的图像和性质同步测试

1. 抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$

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2. 顶点在点M(﹣2，1)，且图象经过原点的二次函数解析式是（）

A . y＝(x﹣2)²+1 B . y＝﹣ $\text{[math]}$ (x+2)²+1 C . y＝(x+2)²+1 D . y＝ $\text{[math]}$ (x﹣2)²+1

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3.
观察下列四个函数的图象（）

将它们的序号与下列函数的排列顺序：正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数，对应正确的是（）

A . ①②③④ B . ②③①④ C . ③②④① D . ④②①③

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4. 已知点A（-1，m），B（1，m），C（2，m-3）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（）

A . y=2x-3 B . y= $\text{[math]}$ C . y=-2x² D . y=-x²

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5. 已知点 $\text{[math]}$ 在下列某一函数图象上，且 $\text{[math]}$ 那么这个函数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 直线 $\text{[math]}$ （m为常数）与函数 $\text{[math]}$ 的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 若某函数具有如下三个特征：①函数图象经过点 $\text{[math]}$ ；②函数图象经过第四象限；③当 $\text{[math]}$ 时，y随x的增大而增大.则这个函数的表达式可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 从下列4个函数①y＝3x﹣2；②y＝－ $\text{[math]}$ （x＞0）；③y＝ $\text{[math]}$ ；④y＝﹣x²（x＜0）中任取一个，函数值y随自变量x的增大而增大的概率是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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9. 如图，点A（a，b）是抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（　　）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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10. 已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣3）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）

A . y＝x B . y＝﹣ $\text{[math]}$ C . y＝x² D . y＝﹣x²

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11. 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，点 $\text{[math]}$ 位于坐标原点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 在y轴的正半轴上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 在二次函数 $\text{[math]}$ 位于第一象限的图象上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则 $\text{[math]}$ 的斜边长为．

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12. 二次函数y＝3x²的图象经过点A（﹣1，y₁），B（2，y₂），则y₁y₂.（填“＞”“＜”或“＝”）

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13. 已知抛物线y＝ax²（a≠0）过点（﹣2，4），则当x≤0时，y随x的增大而 .

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14. 三张完全相同的卡片上分别写有函数y=3x， $\text{[math]}$ ，y=x² ，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是.

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15. 对称轴为 $\text{[math]}$ 的抛物线 $\text{[math]}$ 如图所示，与x 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有下列五个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ （t为实数）；④当 $\text{[math]}$ 时，y随x增大而增大；⑤若方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．其中结论错误的是．

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16. 已知抛物线y＝ax²经过点A(2，1)．

（1）求这个函数的解析式；

（2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标；

（3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

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17. 在平面直角坐标系中已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，点D为抛物线的顶点.

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式及点D的坐标；

（2）将抛物线 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称后的抛物线记作 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点记作点E，求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式及点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）是否在 $\text{[math]}$ 轴上存在一点 $\text{[math]}$ ，在抛物线 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 点坐标，若不存在，请说明理由.

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18. 已知二次函数y＝ax² ，当x＝3时，y＝3.

（1）求当x＝﹣2时，y的值.

（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.

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19. 已知点（3，13）在函数y＝ax²+b的图象上，当x＝﹣2时，y＝8．

（1）求a ， b的值；

（2）如果点（6，m），（n ， 20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（x，|x﹣y|），则称点Q为点P的“关联点”．

（1）请直接写出点（2，2）的“关联点”的坐标；

（2）如果点P在函数y＝x﹣1的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；

（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y＝x²的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．

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21. 已知，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$

（1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；

（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．

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22. 已知 $\text{[math]}$ 是关于x的二次函数.

（1）满足条件的m的值；

（2） m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？

（3） m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？

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23. 已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”。

（1） ①如图2，求出抛物线y=x²的“完美三角形”斜边AB的长；
②请写出一个抛物线的解析式，使它的完美三角形与y=x²+1的“完美三角形”全等；

（2）若抛物线y=ax²+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；

（3）若抛物线y=mx²+2x+n−5的“完美三角形”斜边长为n，且y=mx²+2x+n−5的最大值为−1，求m，n的值。

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（鲁教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学3.3二次函数y=ax2的图像和性质同步测试

一、单选题

二、填空题

三、综合题

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