（北师大版）2022-2023学年度第一学期八年级数学7.1 为什么要证明同步测试

1. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，直线 $\text{[math]}$ ，一直角三角板ABC(∠ACB=90^°)放在平行线上，两直角边分别l₁与l₂、交于点D、E，现测得∠1=75^° ，则∠2的度数为（）

A . 15° B . 25° C . 30° D . 35°

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3. 下列说法正确的是（）

A . 过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行 B . 不相交的两条直线叫做平行线 C . 直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短 D . 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

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4. “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 5，6）的展开式的系数规律．例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，恰好对应着 $\text{[math]}$ 展开式 $\text{[math]}$ 中各项的系数；第4行的4个数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，恰好对应着 $\text{[math]}$ 展开式 $\text{[math]}$ 中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么 $\text{[math]}$ 展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A₁∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂ ，依此类推，∠A₄BC与∠A₄CD的平分线相交于点A₅ ，则∠A₅的度数为（）

A . 19.2° B . 8° C . 6° D . 3°

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6. 观察下列等式： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；……，小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“ $\text{[math]}$ ”的值，这个值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 符合上面规律，则a+b的值为（）

A . 179 B . 109 C . 210 D . 104

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8. 如图，等边 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，规定把等边 $\text{[math]}$ “先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后， $\text{[math]}$ 顶点C的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 下列命题中，①在同一平面内，若 a⊥b ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；②相等的角是对顶角；③能被2整除的数也能被4整除；④两点之间线段最短.真命题有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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10. 如图，在平面直角坐标系上有个点P(1，0)，点P第一次向上跳运1个单位至P₁(1，1)，紧接着第二次向左跳动2个单位至点P₂(－1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P₁₀₀的坐标是（）

A . (－24，49) B . (－25，50) C . (26，50) D . (26，51)

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11. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，依次平分下去，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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12. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序实数对（m，n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4，3）表示分数 $\text{[math]}$ ，则（9，2）表示的分数是．

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13. 观察数据并寻找规律： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ……，则第2021个数是.

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14. 观察下列各式的特点：
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …；
② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …
计算： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
＝.

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15. 观察下列方程：①x+ $\text{[math]}$ =3；②x+ $\text{[math]}$ =5；③x+ $\text{[math]}$ =7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+ $\text{[math]}$ =2n+4（n为正整数）的解x= ．

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16. 如图， $\text{[math]}$ ，P为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的一点，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求∠1的度数.

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17. 判断下面各式是否成立

（1） $\text{[math]}$ （2） $\text{[math]}$ （3） $\text{[math]}$
探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想： $\text{[math]}$
②用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明

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18. 判断以下列各式是否成立：
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

类比上述式子，再写出两个同类的式子．你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．

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19. 观察：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ .猜想 $\text{[math]}$ 等于什么，并通过计算验证你的猜想.

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20. 观察下面的规律：

写出第n行的式子，并证明你的结论。

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21. 如图，在数轴上， $\text{[math]}$ 两点表示的数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称， $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称， $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称， $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称...依次规律，请求点 $\text{[math]}$ 表示的数．

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22. 黑板上写有1，2，3，…，2019，2020这2020个自然数，对它们进行操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和2010后，添加上8；若再擦掉8，8，38，添上4，等等.如果经过1004次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是29，求另一个数.

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23. 观察下列各式及其验算过程：
$\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，验证： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，验证： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $\text{[math]}$ 的变形结果并进行验证．

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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