人教版八上数学第十三章13.3.2等边三角形课时易错题三刷（第二刷）

1. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为Q，延长MN至G，取 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的周长为12， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 周长是（）

A . 8＋2m B . 8＋m C . 6＋2m D . 6＋m

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2. 如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（）

A . 2 B . 2.5 C . 3 D . 3.5

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3. 如图， $\text{[math]}$ ，点P在 $\text{[math]}$ 的内部，点C，D分别是点P关于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对称点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别于点E、F；若 $\text{[math]}$ 的周长的为10，则线段 $\text{[math]}$ （）．

A . 8 B . 9 C . 10 D . 11

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4. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为 $\text{[math]}$ 的中点，P为 $\text{[math]}$ 上一点，E为 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且 $\text{[math]}$ 有下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 为等边三角形；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 其中正确的结论是（）

A . ①②③④ B . ①② C . ①②④ D . ③④

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5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B =30°，CD是高．若AD=2，则BD=．

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6. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作 $\text{[math]}$ 于点N， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则AN的长为．

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7. 已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．

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8. 如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．

（1）求证：△OCD是等边三角形；

（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）当α＝∠AOB，AO＝8cm时，求OC的长度．

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9. 如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE交于点F．

求证：

（1） ∠BFC＝120°；

（2） FA平分∠DFE．

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10.

（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长 $\text{[math]}$ 到点N，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，得到全等三角形，进而解决问题.

结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.

（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）问题拓展：如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ ，垂足为点E，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系.

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11. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在 $\text{[math]}$ 异侧， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点I.

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）求证： $\text{[math]}$ ；

（3）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ ，求m，n的值.

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12. 问题情境：
七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？

（1）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明：

（2）变式拓展：
如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：
①PE与PF还相等吗？为什么？

②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由.

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13. 在边长为8的等边三角形 $\text{[math]}$ 中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，点P以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒.

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，当t取何值时 $\text{[math]}$ ？

（2）若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时， $\text{[math]}$ 为等边三角形（在图2中画出示意图）.

（3）如图3，将边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形 $\text{[math]}$ 变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P运动到AB中点处静止后，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 全等时，直接写出a的值.

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14. 如图， $\text{[math]}$ 为等边三角形，点D、E分别为AC、BC边上一点，且 $\text{[math]}$ ， BD与AE交于点K．

（1） ①求证： $\text{[math]}$ ；
②如图1，连接CK，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

（2）如图2，已知点F为等边 $\text{[math]}$ 外一点，连接BF、EF，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的度数．

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15. 已知， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图2，D是 $\text{[math]}$ 外一点连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点E，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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