高中数学人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程

1. 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到准线的距离为|（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 与双曲线 $\text{[math]}$ 有公共焦点且离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆的标准方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右顶点，点 $\text{[math]}$ 在过 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线上， $\text{[math]}$ 为等腰三角形， $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 3 D . 4

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4. 中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1的青花瓷花瓶的颈部（图2）外形上下对称，可近似看作是中心为原点，焦点在 $\text{[math]}$ 轴上离心率为 $\text{[math]}$ 的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，则双曲线的渐近线方程可以为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 设椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 8 B . 10 C . 12 D . 15

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6. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点，若椭圆 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的左焦点， $\text{[math]}$ 为右顶点， $\text{[math]}$ 是椭圆上一点， $\text{[math]}$ 轴，若 $\text{[math]}$ ，则该椭圆的离心率是. （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点 $\text{[math]}$ ，若其近月点 $\text{[math]}$ (离月球表面最近的点)与月球表面距离为 $\text{[math]}$ 公里，远月点 $\text{[math]}$ (离月球表面最远的点)与月球表面距离为 $\text{[math]}$ 公里，并且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上．已知月球的半径为 $\text{[math]}$ 公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与渐近线和双曲线分别交于 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 均在第一象限），连接 $\text{[math]}$ ，交另一支渐近线于E，且E为 $\text{[math]}$ 的中点，O是坐标原点．下列说法正确的是（）

A . 双曲线的离心率 $\text{[math]}$ B . 双曲线的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的面积为3 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$

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10. 已知曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 为椭圆 B . 当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 为双曲线，其渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . “ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ”是“曲线 $\text{[math]}$ 为双曲线”的充要条件 D . 不存在实数 $\text{[math]}$ 使得曲线 $\text{[math]}$ 为离心率为 $\text{[math]}$ 的双曲线

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11. 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 作一条直线 $\text{[math]}$ 与抛物线相交于不同 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则下列说法中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆与 $\text{[math]}$ 轴相切

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12. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆的顶点， $\text{[math]}$ 为右焦点，延长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为钝角，则该椭圆的离心率可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点，且 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴.过点 $\text{[math]}$ 分别作双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是.

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14. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率等于 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ .

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15. 已知A，B是椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点，P为C上一点，设直线PA，PB 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则椭圆的离心率为.

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16. 汽车前照灯的反射镜为一个抛物面．它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上．由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过进镜的折射等作用达到照亮路面的效果．如图，从灯泡发出的光线 $\text{[math]}$ 经抛物线 $\text{[math]}$ 反射后，沿 $\text{[math]}$ 平行射出， $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 所在的直线方程为 $\text{[math]}$ ，则抛物线方程为．

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17. 已知直线x+y﹣1=0与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于A，B两点，线段AB中点M在直线 $\text{[math]}$ 上．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x²+y²=1上，求椭圆的方程．

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18. 动点 $\text{[math]}$ 与定点 $\text{[math]}$ 的距离和 $\text{[math]}$ 到定直线 $\text{[math]}$ 的距离的比是常数 $\text{[math]}$ ．

（1）求动点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

（2）设 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轨迹上一点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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19. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为此抛物线与椭圆 $\text{[math]}$ 在第一象限的交点，且 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）过点 $\text{[math]}$ 作两条互相垂直的直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，且长轴与短轴的比为 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆的标准方程；

（2）椭圆 $\text{[math]}$ 的上、下顶点分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是椭圆上异于 $\text{[math]}$ 的任意一点， $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，求证： $\text{[math]}$ 恒为定值，并求出该定值.

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21. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的左、右焦点为F₁（﹣2，0），F₂（2，0），点M（﹣2， $\text{[math]}$ ）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知斜率为k的直线l过椭圆C的右焦点F₂ ，与椭圆C相交于A，B两点．
①若|AB|= $\text{[math]}$ ，求直线l的方程；
②设点P（ $\text{[math]}$ ，0），证明： $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 为定值，并求出该定值．

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22. 如图，已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，短轴端点与椭圆的两个焦点所构成的三角形面积为1，过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 恒为定值．若存在求出这个定值；若不存在，说明理由．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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