上海市黄浦区2021届高三三模数学试题

修改时间：2024-07-13 浏览次数：106 类型：高考模拟编辑

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一、填空题

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为.

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3. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的首项为2，公比为 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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4. 设复数 $\text{[math]}$ （i为虚数单位），若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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5. 若 $\text{[math]}$ 的展开式中的常数项为 $\text{[math]}$ ，则实数a的值为.

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6. 设f^﹣1（x）为函数f（x）＝log₂（4^x﹣1）的反函数，则当f（x）＝2f^﹣1（x）时，x的值为．

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7. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm²)为.

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8. 一个三位数，个位､十位､百位上的数字依次为 $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，称这样的数为“凸数”(如341)，则从集合 $\text{[math]}$ 中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为.

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9. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ 右焦点为 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆与椭圆相交于 $\text{[math]}$ 两点，若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的值为．

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10. 如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若 $\text{[math]}$ ＝λ $\text{[math]}$ ＋μ $\text{[math]}$ ，则λ＋μ＝

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11. 已知点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为切点.若 $\text{[math]}$ 最小为 $\text{[math]}$ 时，圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 外切，且与直线 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$ 的值为

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12. 若实数 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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二、单选题

13. 已知 $\text{[math]}$ 是关于x的方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的一个根，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 1 C . -3 D . 3

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14. 设α、β是两个不同的平面，则 $\text{[math]}$ 的充要条件是（）.

A . 平面α内任意一条直线与平面β垂直 B . 平面α、β都垂直于同一条直线 C . 平面α、β都垂直于同一平面 D . 平面α内存在一条直线与平面β垂直

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15. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )的左、右焦点，且 $\text{[math]}$ ，若P是该双曲线右支上一点，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值是（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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16. 设函数 $\text{[math]}$ ，若两条平行直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离为a，则函数 $\text{[math]}$ 零点的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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三、解答题

17. 已知函数 $\text{[math]}$ .（a为实常数）

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性，并说明理由；

（2）当 $\text{[math]}$ 为奇函数时，对任意 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数u的最大值.

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18. 已知如图①，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起使 $\text{[math]}$ ，得到如图②所示的四棱锥 $\text{[math]}$ ，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中求解下列问题：

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角.

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19. 如图，某城市设立以城中心 $\text{[math]}$ 为圆心、 $\text{[math]}$ 公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心 $\text{[math]}$ 正东方向上有一条高速公路 $\text{[math]}$ 、西南方向上有一条一级公路 $\text{[math]}$ ，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆 $\text{[math]}$ 相切的直道 $\text{[math]}$ ．已知通往一级公路的道路 $\text{[math]}$ 每公里造价为 $\text{[math]}$ 万元，通往高速公路的道路 $\text{[math]}$ 每公里造价是 $\text{[math]}$ 万元，其中 $\text{[math]}$ 为常数，设 $\text{[math]}$ ，总造价为 $\text{[math]}$ 万元．

（1）把 $\text{[math]}$ 表示成 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，并求出定义域；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

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20. 已知直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点.

（1）设直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且关于直线 $\text{[math]}$ 对称，求证： $\text{[math]}$ 四点共圆：

（3）记 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，过抛物线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 作准线的垂线，垂足分别为点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 的面积的两倍，求线段 $\text{[math]}$ 中点的轨迹方程.

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21. 集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，若集合 $\text{[math]}$ 中元素个数为 $\text{[math]}$ ，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合 $\text{[math]}$ 为“好集合”.

（1）判断集合 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是否为“好集合”；

（2）若集合 $\text{[math]}$ 是“好集合”，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3） “好集合” $\text{[math]}$ 的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

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二、单选题

三、解答题

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