山东省青岛市2021届高三数学三模试卷

1. 集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设 $\text{[math]}$ 是虚数单位，若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于复平面的（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是空间两个不同平面， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交 C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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4. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下： $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 是等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 45 C . 75 D . 150

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5. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系正确的为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知直线 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . “ $\text{[math]}$ ”是曲线C表示圆的充要条件 B . 当 $\text{[math]}$ 时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1 C . “ $\text{[math]}$ 是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件 D . 当 $\text{[math]}$ 时，曲线C与圆 $\text{[math]}$ 有两个公共点

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7. 若将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称，则函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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8. 定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数 $\text{[math]}$ 的图象连续不断，其导函数为 $\text{[math]}$ ，对任意正实数 $\text{[math]}$ 恒有 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 某鱼业养殖场新进1000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：

分组(单位：毫米)

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

频数

100

100

m

350

150

n

已知在按以上6个分组做出的频率分布直方图中， $\text{[math]}$ 分组对应小矩形的高为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 鱼苗体长在 $\text{[math]}$ 上的频率为 $\text{[math]}$ C . 鱼苗体长的中位数一定落在区间 $\text{[math]}$ 内 D . 从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间 $\text{[math]}$ 上的次数的期望为30

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10. 已知曲线 $\text{[math]}$ 分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为 $\text{[math]}$ B . 若曲线C的离心率 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则曲线C上不存在点P，使得 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为C上一个动点，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$

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11. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，P为 $\text{[math]}$ 轴上的动点，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为2 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积等于4 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为5 D . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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12. 在如图所示的几何体中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为4的正方形， $\text{[math]}$ 均与底面 $\text{[math]}$ 垂直，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所在平面相交 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为 $\text{[math]}$ C . 点C到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ D . 二面角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上不同两点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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13. 某机械厂对一台自动化机床生产的标准零件尺寸进行统计发现，零件尺寸误差 $\text{[math]}$ 近似服从正态分布 $\text{[math]}$ （误差单位 $\text{[math]}$ ），已知尺寸误差的绝对值在 $\text{[math]}$ 内的零件都是合格零件，若该机床在某一天共生产了5000个零件，则其中合格的零件总数为.
附：随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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14. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 若二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是.

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16. 定义方程 $\text{[math]}$ 的实数根 $\text{[math]}$ 叫做函数 $\text{[math]}$ 的“新驻点”，若函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“新驻点”分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为.

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17. 如图，直四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面是边长为1的正方形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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18. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$

（1）若 $\text{[math]}$ ，点D在边AB上， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的外接圆的面积；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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19. 一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成，若笔试和抢答满分均为100分，其中5名选手的成绩如下表所示：

选手	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
笔试（x分）	87	90	91	92	95
抢答（y分）	86	89	89	92	94

对于这5名选手，根据表中的数据，试解答下列两个小题：

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动，以 $\text{[math]}$ 表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ .

附： $\text{[math]}$

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20. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 上不同两点 $\text{[math]}$ 同时满足下列三个条件中的两个：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ .

（1）请分析说明两点 $\text{[math]}$ 满足的是哪两个条件？并求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，求证：直线 $\text{[math]}$ 经过线段 $\text{[math]}$ 的中点.

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的最小值；

（2）若存在区间 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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22. 若数列 $\text{[math]}$ 满足：对于任意 $\text{[math]}$ ，只有有限个正整数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 成立，则记这样的 $\text{[math]}$ 的个数为 $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）在等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的极小值点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.

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山东省青岛市2021届高三数学三模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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分组(单位：毫米)	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
频数	100	100	m	350	150	n

山东省青岛市2021届高三数学三模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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